Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Homomorfismus

Úloha číslo: 1371

Definice
(i) Homomorfismus (lineární zobrazení)

Nechť \(U,V\) jsou vektorové prostory nad polem \(T\).

Homomorfismem prostoru \(U\) do prostoru \(V\) budeme rozumět každé zobrazení \(f:~U\rightarrow V\), pro které platí:

\[ \begin{array}{rl@{\quad}c} \mathrm{(i)} & \forall u_1,u_2 \in U & \quad f(u_1+u_2) &=& f(u_1) + f(u_2),\\ \mathrm{(ii)} & \forall a\in T\quad\forall u \in U & \quad f(a\cdot u) &=& a\cdot f(u).\\ \end{array} \]
  • Jádrem homomorfismu \(f\) rozumíme množinu:

    \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in U;~f(u) = o \big\}. \]
  • Obrazem homomorfismu \(f\) rozumíme množinu:

    \[ \mathrm{Im\,}f=\left\{v\in V;~\exists u \in U:~f(u) = v\right\}. \]
Typy homomorfismu: \[ \begin{array}{lll} \mathrm{monomorfismus}&=&\mathrm{homomorfismus~+~injekce},\\ \mathrm{epimorfismus}&=&\mathrm{homomorfismus~+~surjekce},\\ \mathrm{izomorfismus}&=&\mathrm{homomorfismus~+~bijekce},\\ \mathrm{endomorfismus}&=&\mathrm{homomorfismus~prostoru~}U\mathrm{~do~prostoru~}U,\\ \mathrm{automorfismus}&=&\mathrm{endomorfismus~+~izomorfismus}.\\ \end{array} \]
Důležité vlastnosti a věty
(ii) Obraz množiny generátorů

Obrazem množiny generátorů prostoru \(U\) je množina generátorů \(\mathrm{Im\,}f\).

(iii) Jádro a monomorfismus

Homomorfismus \(f\) je monomorfismus právě tehdy když \(\mathrm{Ker\,}f = 0.\)

Úkol:

Je dáno zobrazení \(f:~\mathbb{Z}^4_3 \rightarrow \mathbb{Z}^3_3\) předpisem \[f(x,y,z,w) = \left(2x+y+z,x+2z+w,y+z+2w\right).\]
  1. Ověřte, je-li zobrazení \(f\) homomorfismus.
  2. Určete jádro homomorfismu.
  3. Určete obraz homomorfismu.
  4. Jedná-li se o speciální homomorfismus, pojmenujte jej.
  • Rozbor

    Máme-li zjistit, zda-li je zobrazení homomorfismus, musíme dle definice ověřit

    1. zda-li se součet libovolný vektorů zobrazí na součet jejich obrazů,
    2. zda-li se násobek libovolného vektoru zobrazí na stejný násobek jeho obrazu.

    Jádro homomorfismu je množina všech vektorů, které ze zobrazí na nulový vektor. Proto při výpočtu pokládáme předpis homomorfismu rovný nulovému vektoru.

    Při hledání obrazu homomorfismu užijeme větu o obrazu množiny generátorů. Zvolíme bázi prostoru vzorů, kterou zobrazíme, čímž získáme množinu generátoru obrazu. Bývá zvykem obraz vyjadřovat jako lineární obal prvku báze, proto v množině generátorů obrazu nalezneme lineárně nezávislou množinu.

  • Poznámka

    Z estetických důvodů jsou v této úloze obsáhlejší vektory zapisovány netradičním způsobem: \[ v = (v_1,v_2,\dots,v_n) = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n\\ \end{pmatrix}^T. \] Vektor je místo do standartních závorek psán vertikálně do matice. Aby byla rovnost zachována, je matice transponována.
  • 1. Nápověda – ověření homomorfismu

    Aby bylo zobrazení \(f\) homomorfismus, musí platit \[ \begin{array}{rl@{\quad}c} \mathrm{(i)} & \forall s,t \in \mathbb{Z}^4_3 & \quad f(s+t) &=& f(s) + f(t),\\ \mathrm{(ii)} & \forall a\in \mathbb{Z}_3\quad\forall s \in \mathbb{Z}^4_3 & \quad f(a\cdot s) &=& a\cdot f(s).\\ \end{array} \]

    Zkoumejte platnost obou vlastností, tj. ověřte

    • zda-li provedením zobrazení na součet libovolných dvou vektorů získáte součet jejich obrazů,
    • zda-li provedením zobrazení na násobek libovolného vektorů získáte stejný násobek jeho obrazu.
  • 2. Nápověda – jádro homomorfismu

    Jádro homomorfismu je dáno jako množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{s\in \mathbb{Z}_3^4;~f(s) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{Z}_3^4\), které se zobrazí na nulový vektor.

    Položte předpis homomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro.

  • 3. Nápověda – obraz homomorfismu

    Obraz homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{t\in \mathbb{Z}^3_3,~\exists s\in \mathbb{Z}^4_3:~f(s) = t \big\}. \]

    Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{Z}^3_3\), na které se „něco“ zobrazí.

    • K určení obrazu homomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
    • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
    • Obraz homomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.
  • 4. Nápověda – typ homomorfismu

    Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem? Izomorfismem?

    Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

    Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem?

  • Odpověď

    1. Ano, zobrazení \(f\) je homomorfismus.
    2. \(\mathrm{Ker\,}f = \left[(2{,}1,1{,}2)\right]\).
    3. \(\mathrm{Im\,}f = \left[(2{,}1,0),(0{,}1,1),(0{,}0,1)\right]\).
    4. Homomorfismus \(f\) je epimorfismem.
  • Poznámka - další vlastnosti homomorfismu

    Nechť \(U,V\) jsou vektorové prostory nad polem \(T\) a \(f:\,U\rightarrow V\) je homomorfismus. Pak platí:

    1. Nulový vektor prostoru \(U\) homomorfismus \(f\) zobrazí na nulový vektor prostoru \(V\).

    2. Homomorfismus \(f\) zobrazuje opačný vektor k vektoru \(u\) prostoru \(U\) na opačný vektor k \(f(u)\) prostoru \(V\).

    3. Homomorfismus \(f\) zobrazuje lineární kombinaci vektorů prostorů \(U\) na stejnou lineární kombinaci jejich obrazů v podprostoru \(V\)

    4. Obraz podprostoru \(U\) je podprostorem \(V\).
    5. \(\mathrm{Im\,}f\) je podprostorem \(V\).

    6. Obraz množiny generátorů prostoru \(U\) je množinou generátorů \(\mathrm{Im\,}f\).

    7. Úplný vzor podprostoru \(V\) je podprostorem \(U\).

    8. \(\mathrm{Ker\,}f\) je podprostorem prostoru \(U\).

    9. Úplný vzor vektoru \(v \in \mathrm{Im\,}f\) je lineární množina \(u + \mathrm{Ker\,}f\), kde \(u\) je prvkem prostoru \(U\), pro něž platí \(f(u)=v\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze