Sbírka řešených úloh

Homomorfismus

Úloha číslo: 1371

• Rozbor

  Máme-li zjistit, zda-li je zobrazení homomorfismus, musíme dle definice ověřit

  1. zda-li se součet libovolný vektorů zobrazí na součet jejich obrazů,
  2. zda-li se násobek libovolného vektoru zobrazí na stejný násobek jeho obrazu.

  Jádro homomorfismu je množina všech vektorů, které ze zobrazí na nulový vektor. Proto při výpočtu pokládáme předpis homomorfismu rovný nulovému vektoru.

  Při hledání obrazu homomorfismu užijeme větu o obrazu množiny generátorů. Zvolíme bázi prostoru vzorů, kterou zobrazíme, čímž získáme množinu generátoru obrazu. Bývá zvykem obraz vyjadřovat jako lineární obal prvku báze, proto v množině generátorů obrazu nalezneme lineárně nezávislou množinu.

• Poznámka

  Z estetických důvodů jsou v této úloze obsáhlejší vektory zapisovány netradičním způsobem: \[ v = (v_1,v_2,\dots,v_n) = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n\\ \end{pmatrix}^T. \] Vektor je místo do standartních závorek psán vertikálně do matice. Aby byla rovnost zachována, je matice transponována.

• 1. Nápověda – ověření homomorfismu

  Aby bylo zobrazení \(f\) homomorfismus, musí platit \[ \begin{array}{rl@{\quad}c} \mathrm{(i)} & \forall s,t \in \mathbb{Z}^4_3 & \quad f(s+t) &=& f(s) + f(t),\\ \mathrm{(ii)} & \forall a\in \mathbb{Z}_3\quad\forall s \in \mathbb{Z}^4_3 & \quad f(a\cdot s) &=& a\cdot f(s).\\ \end{array} \]

  Zkoumejte platnost obou vlastností, tj. ověřte

  • zda-li provedením zobrazení na součet libovolných dvou vektorů získáte součet jejich obrazů,
  • zda-li provedením zobrazení na násobek libovolného vektorů získáte stejný násobek jeho obrazu.

• 1. Řešení nápovědy – ověření homomorfismu

  Ověřme první vlastnost

  \[ \begin{array}{rl@{\quad}c} \mathrm{(i)} & \forall s,t \in \mathbb{Z}^4_3 & \quad f(s+t) &=& f(s) + f(t).\\ \end{array} \] Uvažujme vektory \(s,t \in \mathbb{Z}_3^4\) \[ \begin{eqnarray} s &=& (s_1,s_2,s_3,s_4),\\ t &=& (t_1,t_2,t_3,t_4).\\ \end{eqnarray} \] Levá strana vlastnosti \[ \mathrm{L} = f(s+t) = f \begin{pmatrix} s_1+t_1\\ s_2+t_2\\ s_3+t_3\\ s_4+t_4\\ \end{pmatrix}^T \overset{\mathrm{předp.}}{=} \begin{pmatrix} 2(s_1+t_1) + s_2 + t_2 + s_3 + t_3\\ s_1 + t_1 + 2(s_3 + t_3) + s_4 + t_4\\ s_2 + t_2 + s_3 + t_3 + 2(s_4+t_4)\\ \end{pmatrix}^T. \] \[ \color{grey}{ \begin{array}{l} \mathrm{předp.~znamená,~že}\\ \mathrm{zobrazíme~podle}\\ \mathrm{předpisu:~}f\\ \end{array} \quad f \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ w\\ \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2x + y + z\\ x + 2z + w\\ y+z+2w\\ \end{pmatrix}^T.} \] Pravá strana vlastnosti \[ \mathrm{P} = f(s) + f(t) = f \begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3\\ s_4\\ \end{pmatrix}^T + f \begin{pmatrix} t_1\\ t_2\\ t_3\\ t_4\\ \end{pmatrix}^T \overset{\mathrm{předp.}}{=} \] \[ \overset{\mathrm{předp.}}{=} \begin{pmatrix} 2s_1 + s_2 + s_3\\ s_1 + 2s_3 + s_4\\ s_2+s_3+2s_4\\ \end{pmatrix}^T + \begin{pmatrix} 2t_1 + t_2 + t_3\\ t_1 + 2t_3 + t_4\\ t_2+t_3+2t_4\\ \end{pmatrix}^T = \] \[ = \begin{pmatrix} 2(s_1+t_1) + s_2 + t_2 + s_3 + t_3\\ s_1 + t_1 + 2(s_3 + t_3) + s_4 + t_4\\ s_2 + t_2 + s_3 + t_3 + 2(s_4+t_4)\\ \end{pmatrix}^T. \]

  Neboť \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\), je první vlastnost homomorfismu splněna.

  ---

  Ověřme druhou vlastnost

  \[ \begin{array} \mathrm{(ii)} & \forall a\in \mathbb{Z}_3\quad\forall s \in \mathbb{Z}^4_3 & \quad f(a\cdot s) &=& a\cdot f(s).\\ \end{array} \] Uvažujme \(a\in \mathbb{Z}_3\) a vektor \(s \in \mathbb{Z}_3^4\) \[ \begin{eqnarray} s &=& (s_1,s_2,s_3,s_4).\\ \end{eqnarray} \] Levá strana vlastnosti \[ \mathrm{L} = f(a\cdot s) = f \begin{pmatrix} as_1\\ as_2\\ as_3\\ as_4\\ \end{pmatrix}^T \overset{\mathrm{předp.}}{=} \begin{pmatrix} 2as_1 + as_2 + as_3 \\ as_1 + 2as_3 + as_4 \\ as_2 + as_3 + 2as_4 \\ \end{pmatrix}^T. \] Pravá strana vlastnosti \[ \mathrm{P} = a\cdot f(s) = f \begin{pmatrix} s_1\\ s_2\\ s_3\\ s_4\\ \end{pmatrix}^T \overset{\mathrm{předp.}}{=} a \begin{pmatrix} 2s_1 + s_2 + s_3\\ s_1 + 2s_3 + s_4\\ s_2 + 2s-3 + 2s_4\\ \end{pmatrix}^T = \] \[ = \begin{pmatrix} 2as_1 + as_2 + as_3\\ as_1 + 2as_3 + as_4\\ as_2 + 2as_3 + 2as_4\\ \end{pmatrix}^T. \]

  Neboť \(\mathrm{L} = \mathrm{P}\), je druhá vlastnost homomorfismu splněna.

• 2. Nápověda – jádro homomorfismu

  Jádro homomorfismu je dáno jako množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{s\in \mathbb{Z}_3^4;~f(s) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{Z}_3^4\), které se zobrazí na nulový vektor.

  Položte předpis homomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro.

• 2. Řešení nápovědy – jádro homomorfismu

  Jádro homomorfismu \(f\) je množina vektorů \(s = (x,y,z,w)\), pro které platí \[ f(s) = (2x+y+z,x+2z+w,y+z+2w) = (0{,}0,0). \] Rovnost nám dává soustavu tří rovnic o čtyřech neznámých. \[ \begin{array}{rrrrrrrrrr} 2x & + & y & + & z & & & = & 0 & \qquad \mathrm{(1)}\\ x & & & + & 2z & + & w & = & 0 & \qquad \mathrm{(2)}\\ & & y & + & z & + & 2w & = & 0 & \qquad \mathrm{(3)} \\ \end{array} \] Zvolíme parametr \(y\in\mathbb{Z}_3\). Sečtením rovnice (1) a (2) máme \[ y + w = 0 \qquad \Rightarrow \qquad w = 2y. \] Z rovnice (3) získáme \[ z = w + 2y = 2y + 2y = y \] Poslední neznámou \(x\) dopočítáme z rovnice (2) užitím právě získaných vyjádření. \[ x = 2w + z = 2(2y) + y = 2y \]

  Jádrem je tedy množina (dokonce je to podprostor):

  \[ \mathrm{Ker\,} f = \big\{ (2y,y,y,2y);~y\in\mathbb{Z}_3 \big\} = \big\{ y\cdot(2{,}1,1{,}2);~y\in\mathbb{Z}_3 \big\} = \left[(2{,}1,1{,}2) \right]. \]

• 3. Nápověda – obraz homomorfismu

  Obraz homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{t\in \mathbb{Z}^3_3,~\exists s\in \mathbb{Z}^4_3:~f(s) = t \big\}. \]

  Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{Z}^3_3\), na které se „něco“ zobrazí.

  • K určení obrazu homomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
  • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
  • Obraz homomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.

• 3. Řešení nápovědy – obraz homomorfismu

  Užijeme větu o obrazu množiny generátorů, která říká, že obrazem množiny generátorů prostoru ze kterého zobrazujeme je množina generátorů prostoru do kterého zobrazujeme.

  Jako množinu generátoru prostoru \(\mathbb{Z}_3^4\) zvolíme pro jednoduchost kanonickou bázi \[\big\{ (1{,}0,0{,}0),(0{,}1,0{,}0),(0{,}0,1{,}0),(0{,}0,0{,}1)\big\}.\]

  Vektorům báze určíme obrazy jejich dosazením do předpisu homomorfismu \(f\).

  \[\color{grey}{\mathrm{Předpis}\quad f(x,y,z,w) = \left(2x+y+z,x+2z+w,y+z+2w\right).}\] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}0,0{,}0) &=& (2{,}1,0) \\ f(0{,}1,0{,}0) &=& (1{,}0,1) \\ f(0{,}0,1{,}0) &=& (1{,}2,1) \\ f(0{,}0,0{,}1) &=& (0{,}1,2) \\ \end{eqnarray} \] Nyní by již bylo možné napsat odpověď \[ \mathrm{Im\,}f = \big[(2{,}1,0),(1{,}0,1),(1{,}2,1),(0{,}1,2) \big], \]

  to ale dělat nebudeme. Množina vektorů by totiž mohla být lineárně závislá a měli bychom v závorkách nějaký vektor zbytečně navíc.

  Nalezněme proto lineárně nezávislou množinu generátorů – tedy bázi, obrazu homomorfismu.

  \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + I\\ III + I\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 2II + 2III\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \] Bází obrazu množiny generátorů je tedy například množina \[\big\{(2{,}1,0),(0{,}1,1),(0{,}0,1)\big\},\]

  a obraz homomorfismu \(f\) je množina (opět dokonce podprostor):

  \[ \mathrm{Im\,}f = \big[(2{,}1,0),(0{,}1,1),(0{,}0,1) \big]. \] Díky tomu, že obraz homomorfismu neurčíme jako lineární obal lineárně závislé množiny ale lineární obal báze, okamžitě známe dimenzi obrazu a jsme schopni určit i typ homomorfismu.

• 4. Nápověda – typ homomorfismu

  Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem? Izomorfismem?

  Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

  Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem?

• 4. Řešení nápovědy – typ homomorfismu

  Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem? Izomorfismem?

  Jádro je nenulové a proto podle uvedené věty o monorfismu a jádru nemůže být \(f\) monomorfismem. Zobrazení tedy není injektivní a tedy ani bijektivní a \(f\) nemůže být izomorfismus.

  Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

  Homomorfismus je mezi různými prostory a proto není endomorfismem a tudíž ani automorfismem.

  Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem?

  Dimenze obrazu je \(3\) stejně jako prostoru do kterého \(f\) zobrazuje. Homomorfismus \(f\) je surjekce a je tedy epimorfismem!

• Odpověď

  1. Ano, zobrazení \(f\) je homomorfismus.
  2. \(\mathrm{Ker\,}f = \left[(2{,}1,1{,}2)\right]\).
  3. \(\mathrm{Im\,}f = \left[(2{,}1,0),(0{,}1,1),(0{,}0,1)\right]\).
  4. Homomorfismus \(f\) je epimorfismem.

• Poznámka - další vlastnosti homomorfismu

  Nechť \(U,V\) jsou vektorové prostory nad polem \(T\) a \(f:\,U\rightarrow V\) je homomorfismus. Pak platí:

  1. Nulový vektor prostoru \(U\) homomorfismus \(f\) zobrazí na nulový vektor prostoru \(V\).

  2. Homomorfismus \(f\) zobrazuje opačný vektor k vektoru \(u\) prostoru \(U\) na opačný vektor k \(f(u)\) prostoru \(V\).

  3. Homomorfismus \(f\) zobrazuje lineární kombinaci vektorů prostorů \(U\) na stejnou lineární kombinaci jejich obrazů v podprostoru \(V\)

  4. Obraz podprostoru \(U\) je podprostorem \(V\).

  5. \(\mathrm{Im\,}f\) je podprostorem \(V\).

  6. Obraz množiny generátorů prostoru \(U\) je množinou generátorů \(\mathrm{Im\,}f\).

  7. Úplný vzor podprostoru \(V\) je podprostorem \(U\).

  8. \(\mathrm{Ker\,}f\) je podprostorem prostoru \(U\).

  9. Úplný vzor vektoru \(v \in \mathrm{Im\,}f\) je lineární množina \(u + \mathrm{Ker\,}f\), kde \(u\) je prvkem prostoru \(U\), pro něž platí \(f(u)=v\).