Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Základní pojmy I.

Úloha číslo: 1411

Určete charakteristickou matici, charakteristický polynom, vlastní čísla a spektrum matice \(B\) nad tělesem \(\mathbb{R}.\)

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}. \]
  • Nápověda 1 – charakteristická matice

    Sestavte charakteristickou matici matice \(B\).

    Charakteristickou maticí matice \(B\) je matice \(\lambda E - B\),
    kde \(E\) je matice jednotková.
  • Nápověda 2 – charakteristický polynom

    Určete charakteristický polynom matice \(B\).

    Charakteristický polynom matice \(B\), značíme \(p(\lambda)\),
    je determinant její charakteristické matice \(\lambda E - B\).

    Determinant matice třetího řádu lze určit Sarrusovým pravidlem.
  • Nápověda 3 – vlastní čísla

    Určete vlastní čísla matice \(B\).

    Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \(p(\lambda)\).
  • Nápověda 4 – spektrum

    Určete spektrum matice \(B\).

    Spektrum matice \(B\) je soubor jejích vlastních čísel, přičemž je vlastní číslo v souboru zastoupeno tolikrát, kolik činí jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu.
  • Výsledky

    Pro matici \(B\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli
    • charakteristickou matici \(\begin{pmatrix} \lambda -1 & -4 & -1\\ 0 & \lambda -1 & 0\\ 1 & -2 & \lambda -3\\ \end{pmatrix}\),
    • charakteristický polynom \(p(\lambda) =(\lambda - 1)(\lambda-2)^2\),
    • vlastní čísla \(\lambda_1 = 1,\ \lambda_{2{,}3} = 2\),
    • spektrum \(\lbrace 1{,}2{,}2\rbrace\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze