Sbírka řešených úloh

Základní pojmy I.

Úloha číslo: 1411

• Nápověda 1 – charakteristická matice

  Sestavte charakteristickou matici matice \(B\).

  Charakteristickou maticí matice \(B\) je matice \(\lambda E - B\),
  kde \(E\) je matice jednotková.

• Řešení nápovědy 1 – charakteristická matice

  Sestavíme charakteristickou matici \(\lambda E - B\) matice \(B\). \[ \lambda E - B = \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}= \] \[ = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda -1 & -4 & -1\\ 0 & \lambda -1 & 0\\ 1 & -2 & \lambda -3\\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 2 – charakteristický polynom

  Určete charakteristický polynom matice \(B\).

  Charakteristický polynom matice \(B\), značíme \(p(\lambda)\),
  je determinant její charakteristické matice \(\lambda E - B\).

  Determinant matice třetího řádu lze určit Sarrusovým pravidlem.

• Řešení nápovědy 2 – charakteristický polynom

  Charakteristický polynom matice je determinant jeji charakteristické matice. Určíme jej \[ p(\lambda) = \det(\lambda E - B) = \begin{vmatrix} \lambda -1 & -4 & -1\\ 0 & \lambda -1 & 0\\ 1 & -2 & \lambda -3\\ \end{vmatrix} = \] \[ =(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 3)+(\lambda - 1). \] Pro další práci je výhodné převést polynom na součin kořenových činitelů. \[ p(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 3)+(\lambda - 1) = \] \[ = (\lambda - 1)\big[(\lambda - 1)(\lambda - 3) + 1 \big]= \] \[ =(\lambda - 1)\left[\lambda^2 - 4\lambda + 4\right] = (\lambda - 1)(\lambda-2)^2. \]

  Nalezení kořenů polynomů vyšších stupňů pro převedení na součin bývá u úloh tohoto typu častým oříškem. Někdy si lze výpočet usnadnit vytýkáním.

  Charakteristickým polynomem matice \(B\) nad \(\mathbb{R}\) je tedy polynom \[ p(\lambda) =(\lambda - 1)(\lambda-2)^2. \]

• Nápověda 3 – vlastní čísla

  Určete vlastní čísla matice \(B\).

  Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \(p(\lambda)\).

• Řešení nápovědy 3 – vlastní čísla

  V předchozí části úlohy jsme určili charakteristický polynom matice \(B\) \[p(\lambda) =(\lambda - 1)(\lambda-2)^2.\] Kořeny tohoto polynomu \(\lambda_1 = 1,\ \lambda_{2{,}3} = 2\) jsou vlastními čísly matice \(B\).

• Nápověda 4 – spektrum

  Určete spektrum matice \(B\).

  Spektrum matice \(B\) je soubor jejích vlastních čísel, přičemž je vlastní číslo v souboru zastoupeno tolikrát, kolik činí jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu.

• Řešení nápovědy 4 – spektrum

  Spektrum je soubor vlastních čísel, který zohledňuje jejich násobnost v charakteristickém polynomu.

  \[\color{grey}{p(\lambda) =(\lambda - 1)(\lambda-2)^2}\]

  Násobnost vlastního čísla \(\lambda_1\) je \(1\), násobnost čísla \(\lambda_{2{,}3}\) je \(2\).
  Spektrum matice \(B\) je tedy soubor \(\lbrace 1{,}2{,}2\rbrace\).

• Výsledky

  Pro matici \(B\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli

  • charakteristickou matici \(\begin{pmatrix} \lambda -1 & -4 & -1\\ 0 & \lambda -1 & 0\\ 1 & -2 & \lambda -3\\ \end{pmatrix}\),
  • charakteristický polynom \(p(\lambda) =(\lambda - 1)(\lambda-2)^2\),
  • vlastní čísla \(\lambda_1 = 1,\ \lambda_{2{,}3} = 2\),
  • spektrum \(\lbrace 1{,}2{,}2\rbrace\).