Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Homomorfismus I.

Úloha číslo: 1372

Nechť \(f\) je homomorfismus \(f:\,U\longrightarrow V.\) Lze ukázat, že
  • množina \(\mathrm{Ker\,}f\) je podprostor prostoru \(U\),
  • množina \(\mathrm{Im\,}f\) je podprostor prostoru \(V\).
Díky tomu je možné definovat defekt a hodnost homomorfismu.
(i) Defekt a hodnost homomorfismu

Mějme homomorfismus \(f:\,U\longrightarrow V.\)

Defektem \(d(f)\) homomorfismu \(f\) rozumíme dimenzi podprostoru \(\mathrm{Ker\,}f\), tj.

\[ d(f) = \mathrm{dim\,Ker\,}f. \]

Hodností \(r(f)\) homomorfismu \(f\) rozumíme dimenzi podprostoru \(\mathrm{Im\,}f\), tj.

\[ r(f) = \mathrm{dim\,Im\,}f. \]
Při určování úplného vzoru nám bude oporou následující vlastnost.
(ii) Úplný vzor vektoru

Nechť \(f:\,U\longrightarrow V\) je homomorfismus vektorových prostorů \(U,V\).

Úplným vzorem vektoru \(v\in \mathrm{Im\,} f\) je lineární množina \(u+\mathrm{Ker\,}f\), kde \(u\in U\) je libovolný vektor, pro který je \(f(u)=v\).

Úkol:

Je dán homomorfismus \(f:\,\mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}^3\) předpisem \[ f(x,y,z,w) = (x+y-z,2z+3w,3y-2z). \]

Určete

  1. jádro a defekt,
  2. obraz a hodnost,
  3. obraz vektoru \((2,-1{,}0,1)\),
  4. úplný vzor vektoru \((3,-1{,}4)\),
  5. typ homomorfismu.
  • Rozbor

    Určování jádra a obrazu homomorfismu bylo důkladně vysvětleno v úloze Homomorfismus.

    Defekt a hodnost homorfismu určíme z poznatků uvedených v této úloze. Jsou dány jako dimenze prostorů jádra a obrazu homomorfismu.

    Obraz libovolného vektoru \(u\) získáme tak, že na něj provedeme předpis homomorfismu.

    Úplný vzor získáme podobně jako jádro, předpis ale položíme roven vektoru, jehož úplný vzor hledáme. Můžeme užít uvedené věty, která říká, že úplný vzor je libovolný vzor + jádro homomorfismu.

    Typ homomorfismu určíme na základě zjištěných skutečností ohledně jádra, hodnosti, defektu atp. Přehled speciálních typů homomorfismu naleznete v úloze Homomorfismus.

  • 1. Nápověda – jádro a defekt

    Jádro homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in \mathbb{R}^4;~f(u) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^4\), které se zobrazí na nulový vektor.

    Položte předpis homomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro. Jaký je defekt homomorfismu?

  • 2. Nápověda – obraz a hodnost

    Obraz homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{v\in \mathbb{R}^3,~\exists u\in \mathbb{R}^4:~f(u) = v \big\}. \]

    Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), na které se „něco“ zobrazí.

    • K určení obrazu homomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
    • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
    • Obraz homomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.
    • Jak se určí hodnost homomorfismu?
  • 3. Nápověda – obraz vektoru

    Obraz vektoru se získá tak, že se na něj provede předpis homomorfismu.
  • 4. Nápověda – úplný vzor vektoru

    Úplný vzor nalezneme podobně jako jádro homomorfismu. Nyní ale nebudeme hledat vektory, které se zobrazí na nulový vektor, ale vektory, které se zobrazí na vektor \((3,−1{,}4)\).

    Položte předpis homomorfismu roven vektoru \((3,−1{,}4)\).
    Nalezněte úplný vzor – množinu vektorů, která rovnost splňuje.

  • 5. Nápověda – typ homomorfismu

    Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem? Izomorfismem?

    Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

    Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem?

  • Odpověď

    1. \(\mathrm{Ker\,}f = \left[(1{,}2,3,-2\right]\), \(d(f)=1\).
    2. \(\mathrm{Im\,}f = \mathbb{R}^3\), \(r(f)=3.\)
    3. \(f(2,−1{,}0,1)=(1{,}3,−3)\).
    4. \(f^{−1}(3,−1{,}4)=(2{,}2,1,−1)+\left[(1{,}2,3,−2)\right]\).
    5. Homomorfismus \(f\) je epimorfismem.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze