Dimenze spojení a průniku
Úloha číslo: 1370
Při určování dimenze průniku podprostorů užijeme větu:
Úkol:
Určete dimenzi průniku \(V_1\cap V_2\) vektorových prostorů \(V_1\) a \(V_2\).
\[ \begin{eqnarray} V_1 &=& \left[ (3{,}4,2),(0{,}1,3) \right]\subset \mathbb{Z}_5^3\\ V_2 &=& \left[ (1{,}0,1),(3{,}2,2) \right]\subset \mathbb{Z}_5^3\\ \end{eqnarray} \]Rozbor
Dimenzi průniku nelze jednoduše přímo určit. Při výpočtu budeme vycházet z věty o dimenzi spojení a průniku prostorů \[\mathrm{dim\,}(V_1 + V_2) + \mathrm{dim\,}(V_1\cap V_2)= \mathrm{dim\,}V_1 + \mathrm{dim\,}V_2.\] Z této rovnosti vyjádříme hledanou dimenzi průniku \[\mathrm{dim\,}(V_1\cap V_2) = \mathrm{dim\,}V_1 + \mathrm{dim\,}V_2 - \mathrm{dim\,}(V_1 + V_2).\]K určení dimenze průniku stačí podle této rovnosti určit
- \(\mathrm{dim\,}V_1\),
- \(\mathrm{dim\,}V_2\),
- \(\mathrm{dim\,}(V_1+V_2)\).
1. Nápověda – určení dim V1
Napište vektory množiny generátorů podprostoru \(V_1\) do řádku matice a upravte ji na odstupňovaný tvar. Jak určíte z takto upravené matice dimenzi?2. Nápověda – určení dim V2
Napište vektory množiny generátorů prostoru \(V_2\) do řádku matice a upravte ji na odstupňovaný tvar. Jak určíte z takto upravené matice dimenzi?3. Nápověda – určení dim (V1 + V2)
Napište vektory generující oba podprostory do řádků matice. Tu upravte na odstupňovaný tvar. Jak určíme dimenzi z takto upravené matice?
Pozor, pracujeme na polem \(\mathbb{Z}_5\)!
4. Nápověda – výpočet dimenze průniku
Na základě věty o dimenzi spojení a průniku vypočtěte dimenzi průniku \(V_1 \cup V_2\).CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Vektory množiny generátorů prostoru \(V_1\) napíšeme do řádků matice.
\[ \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \]Matice je již v odstupňovaním tvaru a neobsahuje nulový řádek. Množina generátorů prostoru \(V_1\) je lineárně nezávislá, jedná se tedy o bázi.
Dimenze prostoru je počet prvků jeho libovolné báze, proto
\[\mathrm{dim\,} V_1 = 2.\]Vektory množiny generátorů prostoru \(V_2\) napíšeme do řádků matice a upravíme na odstupňovaný tvar.
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array} \phantom{I}\\ II + 2I\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \]Matice v odstupňovaním tvaru neobsahuje nulový řádek. Množina generátorů prostoru \(V_2\) je lineárně nezávislá, jedná se tedy o bázi.
Dimenze prostoru je počet prvků jeho libovolné báze, proto
\[\mathrm{dim\,} V_2 = 2.\] Vektory množin generátorů obou podprostorů poklademe na řádky matice. Matici upravíme na odstupňovaný tvar. Pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_5\)! \[ \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} 2III+I\\ IV+2III\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} III+II\\ IV+2III\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} \phantom{III}\\ IV+4III\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \]Nenulové řádky takto upravené matice jsou lineárně nezávislé a tvoří prvky báze spojení \(V_1+V_2\). Dimenze spojení je počet prvků jeho báze, tj.
\[\mathrm{dim\,}(U+V) = 3.\] Z věty o dimenzi spojení a průniku vyjádříme dimenzi průniku \[\mathrm{dim\,}(V_1\cap V_2) = \mathrm{dim\,}V_1 + \mathrm{dim\,}V_2 - \mathrm{dim\,}(V_1 + V_2),\] kam dosadíme vypočítáné dimenze \[\mathrm{dim\,}(V_1\cap V_2) = 2 + 2 - 3 = 1.\]Odpověď
Dimenze průniku prostorů \(V_1\) a \(V_2\) je \(1\).
