Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Analytické vyjádření bilineární formy II.
Úloha číslo: 1462
Bilineární forma na prostoru Z35 má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření:
∀x,y∈Z35:4x1y1+x2y1+3x2y2+x2y3+x3y2+4x3y3určete její analytické vyjádření vzhledem k bázím M={(1,0,0),(3,2,1),(0,3,2)}, N={(3,1,2),(1,4,0),(0,0,1)}.
Rozbor
ÚvodemNejsme-li si jistí pojmy, matice homomorfismu, lineární forma, bilineární forma, analytické vyjádření lineární formy nebo matice přechodu, doporučuji zopakovat si:
- Lineární forma I.
- Analytické vyjádření lineární formy I.
- Matice homomorfismu
- Matice přechodu
- Matice homomorfismu
- Bilineární forma I.
- též je vhodné zopakovat si tzv. kouzelný vzorec.
Teoretický aparát
D: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T M={m1,⋯,mn} jeho báze a f bilineární forma na prostoru V. Maticí bilineární formy f vzhledem k bázi M budeme rozumět čtvercovou matici řádu n A=(aij), pro kterou platí:
∀i,j=1,⋯,n:aij=f(mi,mj)Analytickým vyjádřením f dále budeme rozumět: f(x,y)=n∑i=1,j=1aijxiyj
V: Nechť V je vektorový prostor dimenze n nad tělesem T, M jeho báze, f bilineární forma na prostoru V a A čtvercová matice řádu n nad tělesem T. Řekneme, že A je maticí bilineiární formy f vzhledem k bázi M, jestliže platí následující:
∀x,y∈V:f(x,y)=⟨x⟩M⋅A⋅⟨y⟩TMPostup
Máme-li tedy k dispozici matici A=(aij) bilineární formy f vzhledem k bázím M,N prostoru V dimenze n nad tělesem T a naším úkolem je získat matici formy f vzhledem k bázím K,L (znát matici fromy znamená znát její analytické vyjádření, viz výše uvedené), vyjdeme z kouzelného vzorečku, kde známe:
∀x,y∈V:f(x,y)=⟨x⟩M⋅A⋅⟨y⟩TNa chceme získat matici B tak, aby platilo:
∀x,y∈V:f(x,y)=⟨x⟩K⋅B⋅⟨y⟩TLKu splnění našeho cíle postačí vhodně využít matice přechodu PKM od báze K k bázi M a PLN od báze L k bázi N:
∀x∈V:⟨x⟩TM=PKM⋅⟨x⟩TKJelikož chceme vyjádřit ⟨x⟩M celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:
∀x∈V:⟨x⟩M=⟨x⟩K⋅PTMKPro y obdobně získáváme:
∀y∈V:⟨y⟩TN=PLN⋅⟨y⟩TLDosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:
∀x,y∈V:f(x,y)=⟨x⟩K⋅PTKM⋅A⋅PLN⋅⟨y⟩TLPři porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:
B=PTKM⋅A⋅PLNa tedy hledání matice B přechází na hledání matic přechodu PKM,PLN
Kouzelný vzoreček
Napište kouzelný vzoreček pro bilineární formu f pro báze, vůči nimž je f zadaná a pro báze, vůči nimž máme určit analytické vyjádření f.
Kouzelný vzoreček - cesta k matici B
Již víme, že kouzelný vzoreček formy f vzhledem k bázím M, N následující podobu:
∀x,y∈Z35:f(x,y)=⟨x⟩M⋅B⋅⟨y⟩TNPomocí vhodných přechodů a známé matice A formy f vzhledem ke kanonické bázi nyní přepišme výchotí podobu kouzelného vzorečku do kýžené, výše uvedené podoby, aby byla patrná výpočetní cesta k matici B.
Matice přechodu
Vyjádřeme nyní matice přechodu PM,k.b. od báze M ke kanonické bázi a PN,k.b. od báze N ke kanonické bázi:
Matice formy A vzhledem k bázím M,N
Dle definice v rozboru určete matici formy f vzhledem k bázím M, N.
Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření
Pomocí zjištěných matic přechodu PM,k.b.,PN,k.b., matice A formy f vzhledem ke kanonické bázi a vztahů pro kouzelný vzoreček vyjádřete hledanou matici B a s ní spojené požadované analytické vyjádření formy f.
Řešení
Bilineární forma na prostoru Z35 je zadána vzhledem ke kanonické bázi. Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:
∀x,y∈Z35:f(x,y)=⟨x⟩k.b.⋅A⋅⟨y⟩Tk.b.Jelikož máme f vyjádřit vzhledem k bázím M, N, její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:
∀x,y∈Z35:f(x,y)=⟨x⟩M⋅B⋅⟨y⟩TNNaším úkolem je pomocí přechodů určit matici B.
V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu PM,k.b. od báze M ke kanonické bázi a PN,k.b. od báze N ke kanonické bázi:
∀x∈Z35:⟨x⟩Tk.b.=PM,k.b.⋅⟨x⟩TMJelikož chceme vyjádřit ⟨x⟩k.b. celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:
∀x∈Z35:⟨x⟩k.b.=⟨x⟩M⋅PTM,k.b.Pro y obdobně získáváme:
∀y∈Z35:⟨y⟩Tk.b.=PN,k.b.⋅⟨y⟩TNDosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:
∀x,y∈Z35:f(x,y)=⟨x⟩M⋅PTM,k.b.⋅A⋅PN,k.b.⋅⟨y⟩Tk.b.Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:
B=PTM,k.b.⋅A⋅PN,k.b.a tedy hledání matice B přechází na hledání matic přechodu PM,k.b.,PN,k.b.
Matici přechodu P od báze C k bázi D hledáme řešením maticového výrazu (D|C)∼(E|P).
Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.
Matici PM,k.b. tedy získáme řešením (E|M)∼(E|PM,k.b.).
Je patrné na první pohled, že:
M=PM,k.b.=(130023012)Matici PN,k.b. tedy získáme řešením (E|N)∼(E|PN,k.b.).
Je patrné na první pohled, že:
N=PN,k.b.=(310140201)Bilineární forma na prostoru Z35 má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření:
∀x,y∈Z35:4x1y1+x2y1+3x2y2+x2y3+x3y2+4x3y3proto matice formy A bude vypadat následovně:
A=(400131104)Matici B získáme:
B=PTM,k.b.⋅A⋅PN,k.b.po dosazení získáváme:
B=(100321032)⋅(400131104)⋅(310140201)= =(400011041)⋅(310140201)=(240341111)a tedy v souladu s
∀x,y∈Z25:f(x,y)=⟨x⟩k.b.⋅B⋅⟨y⟩Tk.b.bude požadované analytické vyjádření vypadat:
f(x,y)=2x1y1+4x1y2+3x2y1+4x2y2+x2y3+x3y1+x3y2+x3y3Analytické vyjádření
f(x,y)=2x1y1+4x1y2+3x2y1+4x2y2+x2y3+x3y1+x3y2+x3y3Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!
Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly R.
Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.