Analytické vyjádření bilineární formy II.
Úloha číslo: 1462
Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{Z}^3_5\) má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření:
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}^3_5 : 4x_1y_1 + x_2y_1+3x_2y_2+ x_2y_3+x_3y_2+ 4x_3y_3\]určete její analytické vyjádření vzhledem k bázím \(M= \{(1{,}0,0),(3{,}2,1),(0{,}3,2) \}\), \(N=\{(3{,}1,2),(1{,}4,0),(0{,}0,1) \}\).
Rozbor
ÚvodemNejsme-li si jistí pojmy, matice homomorfismu, lineární forma, bilineární forma, analytické vyjádření lineární formy nebo matice přechodu, doporučuji zopakovat si:
- Lineární forma I.
- Analytické vyjádření lineární formy I.
- Matice homomorfismu
- Matice přechodu
- Matice homomorfismu
- Bilineární forma I.
- též je vhodné zopakovat si tzv. kouzelný vzorec.
Teoretický aparát
D: Nechť \(V\) je vektorový prostor nad tělesem \(T\) \(M = \{m_1, \cdots, m_n \}\) jeho báze a \(f\) bilineární forma na prostoru \(V\). Maticí bilineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\) budeme rozumět čtvercovou matici řádu \(n\) \(A=(a_{ij})\), pro kterou platí:
\[\forall i,j = 1,\cdots, n: a_{ij}=f(m_i,m_j)\]Analytickým vyjádřením \(f\) dále budeme rozumět: \[f(x,y) =\sum_{i=1,j=1}^{n}{a_{ij}x_iy_j}\]
V: Nechť \(V\) je vektorový prostor dimenze \(n\) nad tělesem \(T\), \(M\) jeho báze, \(f\) bilineární forma na prostoru \(V\) a \(A\) čtvercová matice řádu \(n\) nad tělesem \(T\). Řekneme, že \(A\) je maticí bilineiární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\), jestliže platí následující:
\[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_M^{\mathrm{T}}\]Postup
Máme-li tedy k dispozici matici \(A=(a_{ij})\) bilineární formy \(f\) vzhledem k bázím \(M,N\) prostoru \(V\) dimenze \(n\) nad tělesem \(T\) a naším úkolem je získat matici formy \(f\) vzhledem k bázím \(K,L\) (znát matici fromy znamená znát její analytické vyjádření, viz výše uvedené), vyjdeme z kouzelného vzorečku, kde známe:
\[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot A \cdot \langle y \rangle_N^{\mathrm{T}}\tag{1}\]a chceme získat matici \(B\) tak, aby platilo:
\[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_K \cdot B \cdot \langle y \rangle_L^{\mathrm{T}}\tag{2}\]Ku splnění našeho cíle postačí vhodně využít matice přechodu \(P_{KM}\) od báze \(K\) k bázi \(M\) a \(P_{LN}\) od báze \(L\) k bázi \(N\):
\[\forall x \in V: \langle x\rangle_M^{\mathrm{T}}= P_{KM}\cdot\langle x\rangle_K^{\mathrm{T}} \]Jelikož chceme vyjádřit \( \langle x\rangle_M\) celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:
\[\forall x \in V: \langle x\rangle_M= \langle x\rangle_K \cdot P_{MK}^{\mathrm{T}} \tag{3}\]Pro \(y\) obdobně získáváme:
\[\forall y \in V: \langle y\rangle_N^{\mathrm{T}}= P_{LN}\cdot\langle y\rangle_L^{\mathrm{T}} \tag{4}\]Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:
\[\forall x,y \in V: f(x,y)= \langle x\rangle_K \cdot P_{KM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{LN}\cdot\langle y\rangle_L^{\mathrm{T}}\tag{5}\]Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:
\[B=P_{KM}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{LN}\]a tedy hledání matice \(B\) přechází na hledání matic přechodu \(P_{KM},\,\, P_{LN}\)
Kouzelný vzoreček
Napište kouzelný vzoreček pro bilineární formu \(f\) pro báze, vůči nimž je \(f\) zadaná a pro báze, vůči nimž máme určit analytické vyjádření \(f\).
Kouzelný vzoreček - cesta k matici B
Již víme, že kouzelný vzoreček formy \(f\) vzhledem k bázím \(M\), \(N\) následující podobu:
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}^3_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{N}^{\mathrm{T}}\]Pomocí vhodných přechodů a známé matice \(A\) formy \(f\) vzhledem ke kanonické bázi nyní přepišme výchotí podobu kouzelného vzorečku do kýžené, výše uvedené podoby, aby byla patrná výpočetní cesta k matici \(B\).
Matice přechodu
Vyjádřeme nyní matice přechodu \(P_{M,k.b.}\) od báze \(M\) ke kanonické bázi a \(P_{N,k.b.}\) od báze \(N\) ke kanonické bázi:
Matice formy A vzhledem k bázím M,N
Dle definice v rozboru určete matici formy \(f\) vzhledem k bázím \(M\), \(N\).
Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření
Pomocí zjištěných matic přechodu \(P_{M,k.b.},\,\, P_{N,k.b.}\), matice \(A\) formy \(f\) vzhledem ke kanonické bázi a vztahů pro kouzelný vzoreček vyjádřete hledanou matici \(B\) a s ní spojené požadované analytické vyjádření formy \(f\).
Řešení
Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{Z}^3_5\) je zadána vzhledem ke kanonické bázi. Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}^3_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot A \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{1}\]Jelikož máme \(f\) vyjádřit vzhledem k bázím \(M\), \(N\), její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}^3_5: f(x,y)= \langle x\rangle_{M} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{N}^{\mathrm{T}}\tag{2}\]Naším úkolem je pomocí přechodů určit matici \(B\).
V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu \(P_{M,k.b.}\) od báze \(M\) ke kanonické bázi a \(P_{N,k.b.}\) od báze \(N\) ke kanonické bázi:
\[\forall x \in \mathbb{Z}_5^3: \langle x \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}= P_{M,k.b.}\cdot\langle x \rangle_M^{\mathrm{T}} \]Jelikož chceme vyjádřit \( \langle x\rangle_{k.b.}\) celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:
\[\forall x \in \mathbb{Z}_5^3: \langle x\rangle_{k.b.}= \langle x\rangle_M \cdot P_{M,k.b.}^{\mathrm{T}} \tag{3}\]Pro \(y\) obdobně získáváme:
\[\forall y \in \mathbb{Z}_5^3: \langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}= P_{N,k.b.}\cdot\langle y\rangle_N^{\mathrm{T}} \tag{4}\]Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^3: f(x,y)= \langle x\rangle_M \cdot P_{M,k.b.}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{N,k.b.}\cdot\langle y\rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{5}\]Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:
\[B=P_{M,k.b.}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{N,k.b.}\]a tedy hledání matice \(B\) přechází na hledání matic přechodu \(P_{M,k.b.},\,\, P_{N,k.b.}\)
Matici přechodu \(P\) od báze \(C\) k bázi \(D\) hledáme řešením maticového výrazu \((D|C) \sim (E|P)\).
Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.
Matici \(P_{M,k.b.}\) tedy získáme řešením \((E|M) \sim (E|P_{M,k.b.})\).
Je patrné na první pohled, že:
\[M=P_{M,k.b.} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]Matici \(P_{N,k.b.}\) tedy získáme řešením \((E|N) \sim (E|P_{N,k.b.})\).
Je patrné na první pohled, že:
\[N=P_{N,k.b.} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]Bilineární forma na prostoru \(\mathbb{Z}^3_5\) má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření:
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}^3_5 : 4x_1y_1 + x_2y_1+3x_2y_2+ x_2y_3+x_3y_2+ 4x_3y_3\]proto matice formy \(A\) bude vypadat následovně:
\[A= \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}\]Matici \(B\) získáme:
\[B=P_{M,k.b.}^{\mathrm{T}} \cdot A \cdot P_{N,k.b.}\]po dosazení získáváme:
\[B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0\\ 3 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]a tedy v souladu s
\[\forall x,y \in \mathbb{Z}_5^2: f(x,y)= \langle x\rangle_{k.b.} \cdot B \cdot \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\]bude požadované analytické vyjádření vypadat:
\[f(x,y)= 2x_1y_1 + 4x_1y_2+3x_2y_1+4x_2y_2+x_2y_3+x_3y_1+x_3y_2+x_3y_3\]Analytické vyjádření
\[f(x,y)= 2x_1y_1 + 4x_1y_2+3x_2y_1+4x_2y_2+x_2y_3+x_3y_1+x_3y_2+x_3y_3\]Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!
Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).
Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.
