Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Analytické vyjádření bilineární formy II.

Úloha číslo: 1462

Bilineární forma na prostoru Z35 má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření:

x,yZ35:4x1y1+x2y1+3x2y2+x2y3+x3y2+4x3y3

určete její analytické vyjádření vzhledem k bázím M={(1,0,0),(3,2,1),(0,3,2)}, N={(3,1,2),(1,4,0),(0,0,1)}.

  • Rozbor

    Úvodem

    Nejsme-li si jistí pojmy, matice homomorfismu, lineární forma, bilineární forma, analytické vyjádření lineární formy nebo matice přechodu, doporučuji zopakovat si:

    1. Lineární forma I.
    2. Analytické vyjádření lineární formy I.
    3. Matice homomorfismu
    4. Matice přechodu
    5. Matice homomorfismu
    6. Bilineární forma I.
    7. též je vhodné zopakovat si tzv. kouzelný vzorec.

    Teoretický aparát

    D: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T  M={m1,,mn} jeho báze a f bilineární forma na prostoru V. Maticí bilineární formy f vzhledem k bázi M budeme rozumět čtvercovou matici řádu n A=(aij), pro kterou platí:

    i,j=1,,n:aij=f(mi,mj)

    Analytickým vyjádřením f dále budeme rozumět: f(x,y)=ni=1,j=1aijxiyj

    V: Nechť V je vektorový prostor dimenze n nad tělesem T, M jeho báze, f bilineární forma na prostoru VA čtvercová matice řádu n nad tělesem T. Řekneme, že A je maticí bilineiární formy f vzhledem k bázi M, jestliže platí následující:

    x,yV:f(x,y)=xMAyTM

    Postup

    Máme-li tedy k dispozici matici A=(aij) bilineární formy f vzhledem k bázím M,N prostoru V dimenze n nad tělesem T a naším úkolem je získat matici formy f vzhledem k bázím K,L (znát matici fromy znamená znát její analytické vyjádření, viz výše uvedené), vyjdeme z kouzelného vzorečku, kde známe:

    x,yV:f(x,y)=xMAyTN

    a chceme získat matici B tak, aby platilo:

    x,yV:f(x,y)=xKByTL

    Ku splnění našeho cíle postačí vhodně využít matice přechodu PKM od báze K k bázi MPLN od báze L k bázi N:

    xV:xTM=PKMxTK

    Jelikož chceme vyjádřit xM celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

    xV:xM=xKPTMK

    Pro y obdobně získáváme:

    yV:yTN=PLNyTL

    Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

    x,yV:f(x,y)=xKPTKMAPLNyTL

    Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

    B=PTKMAPLN

    a tedy hledání matice B přechází na hledání matic přechodu PKM,PLN

  • Kouzelný vzoreček

    Napište kouzelný vzoreček pro bilineární formu f pro báze, vůči nimž je f zadaná a pro báze, vůči nimž máme určit analytické vyjádření f.

  • Kouzelný vzoreček - cesta k matici B

    Již víme, že kouzelný vzoreček formy f vzhledem k bázím M, N následující podobu:

    x,yZ35:f(x,y)=xMByTN

    Pomocí vhodných přechodů a  známé matice A formy f vzhledem ke kanonické bázi nyní přepišme výchotí podobu kouzelného vzorečku do kýžené, výše uvedené podoby, aby byla patrná výpočetní cesta k matici B.

  • Matice přechodu

    Vyjádřeme nyní matice přechodu PM,k.b. od báze M ke kanonické bázi a PN,k.b. od báze N ke kanonické bázi:

  • Matice formy A vzhledem k bázím M,N

    Dle definice v rozboru určete matici formy f vzhledem k bázím M, N.

  • Matice B vzhledem ke k.b. a analytické vyjádření

    Pomocí zjištěných matic přechodu PM,k.b.,PN,k.b., matice A formy f vzhledem ke kanonické bázi a vztahů pro kouzelný vzoreček vyjádřete hledanou matici B a s ní spojené požadované analytické vyjádření formy f.

  • Řešení

    Bilineární forma na prostoru Z35 je zadána vzhledem ke kanonické bázi. Její kouzelný vzoreček proto bude, ve své výchozí podobě, vypadat následovně:

    x,yZ35:f(x,y)=xk.b.AyTk.b.

    Jelikož máme f vyjádřit vzhledem k bázím M, N, její kouzelný vzoreček přepíšeme následovně:

    x,yZ35:f(x,y)=xMByTN

    Naším úkolem je pomocí přechodů určit matici B.

    V souladu s teorií rozboru musíme vhodně využít matic přechodu PM,k.b. od báze M ke kanonické bázi a PN,k.b. od báze N ke kanonické bázi:

    xZ35:xTk.b.=PM,k.b.xTM

    Jelikož chceme vyjádřit xk.b. celou rovnici, dle pravidel pro transponování matic a součinu matic, transponujeme jako:

    xZ35:xk.b.=xMPTM,k.b.

    Pro y obdobně získáváme:

    yZ35:yTk.b.=PN,k.b.yTN

    Dosadíme-li nyní (3) a (4) do (1) obdržíme:

    x,yZ35:f(x,y)=xMPTM,k.b.APN,k.b.yTk.b.

    Při porovnání (5) a (2) zjišťujeme, že platí:

    B=PTM,k.b.APN,k.b.

    a tedy hledání matice B přechází na hledání matic přechodu PM,k.b.,PN,k.b.

    Matici přechodu P od báze C k bázi D hledáme řešením maticového výrazu (D|C)(E|P).

    Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P pak hledanou maticí přechodu.

    Matici PM,k.b. tedy získáme řešením (E|M)(E|PM,k.b.).

    Je patrné na první pohled, že:

    M=PM,k.b.=(130023012)

    Matici PN,k.b. tedy získáme řešením (E|N)(E|PN,k.b.).

    Je patrné na první pohled, že:

    N=PN,k.b.=(310140201)

    Bilineární forma na prostoru Z35 má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření:

    x,yZ35:4x1y1+x2y1+3x2y2+x2y3+x3y2+4x3y3

    proto matice formy A bude vypadat následovně:

    A=(400131104)

    Matici B získáme:

    B=PTM,k.b.APN,k.b.

    po dosazení získáváme:

    B=(100321032)(400131104)(310140201)= =(400011041)(310140201)=(240341111)

    a tedy v souladu s

    x,yZ25:f(x,y)=xk.b.ByTk.b.

    bude požadované analytické vyjádření vypadat:

    f(x,y)=2x1y1+4x1y2+3x2y1+4x2y2+x2y3+x3y1+x3y2+x3y3
  • Analytické vyjádření

    f(x,y)=2x1y1+4x1y2+3x2y1+4x2y2+x2y3+x3y1+x3y2+x3y3
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly R.

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze