Sbírka řešených úloh

Vlastní vektory

Úloha číslo: 1413

• Rozbor

  Stojíme před stejným úkolem jako v úlohách Základní pojmy, Základní pojmy I. a Základní pojmy II., s tím rozdílem, že zde máme navíc určit vlastní vektory, příslušící vlastním číslům matice.

  Během výpočtu nesmíme zapomenout, že příklad nutno počítat nad konečným tělesem \(\mathbb{Z}_5\).

• Jak na výpočet vlastních vektorů?

  Nenulový vektor příslušící číslu \(\lambda\) je dle definice vektor \(v\) splňující rovnost

  \[Av^\mathrm{T} = \lambda v^\mathrm{T},\]

  kde \(^\mathrm{T}\) značí transponování vektoru (aby bylo možné násobit) a \(A\) je udaná matice.

  Ekvivalentní úpravou z této rovnosti plyne \[\lambda v^\mathrm{T} - Av^\mathrm{T}=0.\] Vytknutím \(v^\mathrm{T}\) pak dostaneme \[(\lambda E - A) v^\mathrm{T}=0.\]

  Jak vidíme, vlastní vektor příslušící zvolenému vlastnímu číslu \(\lambda\) lze nalézt jako nenulové řešení homogenní soustavy, jejíž matice soustavy je charakteristická matice, do které jsme dosadili zvolené vlastní číslo.

  Může se stát, že dimenze řešení bude větší jak \(1\). Získáme tak více lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušících danému vlastnímu číslu.

  Je zřejmé, že je-li nějaký vektor vlastním vektorem, je jeho nenulový násobek téže vlastním vektorem.

• Nápověda 1 – charakteristická matice, polynom, vlastní čísla

  Nalezněte

  • charakteristickou matici,
  • charakteristický polynom,
  • vlastní čísla.

  Charakteristická matice matice \(A\) je matice \(\lambda E - A\).
  Charakteristický polynom je její determinant, tj. \(p(\lambda)=\det (\lambda E -A)\).
  Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu.

  Způsob hledání těchto charakteristik je podrobněji popsán v úlohách Základní pojmy, Základní pojmy I. a Základní pojmy II.

• Řešení nápovědy 1 – char. matice, polynom, vlastní čísla

  Charakteristická matice matice \(A\) je (pracujeme nad \(\mathbb{Z}_5\)!) \[\lambda E - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} +4 \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda +1 & 4\\ 1 & \lambda + 1 \end{pmatrix}. \] Charakteristický polynom získáme jako determinant právě získané matice \[ p(\lambda) = \begin{vmatrix} \lambda +1 & 4 \\ 1 & \lambda + 1 \end{vmatrix}= (\lambda + 1)(\lambda + 1) + 4{}\cdot 4{}\cdot 1 = \lambda^2 + 2\lambda + 2. \]

  Vlastní čísla jsou kořeny polynomu \(p(\lambda)\). Nalézt je nad \(\mathbb{Z}_5\) nebude obtížné.

  Zřejmě \(\lambda_1 = 1\) a \(\lambda_2 = 2\), neboť skutečně

  \[ \begin{eqnarray} p(1) &=& 1^2 + 2{\cdot} 1 + 2 = 0,\\ p(2) &=& 2^2 + 2{\cdot} 2 + 2 = 0. \end{eqnarray} \]

• Nápověda 2 – vlastní vektory

  Nalezněte vektory příslušící vlastním číslům matice \(A\).

  Vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda\) lze nalézt jako nenulové řešení homogenní soustavy

  \[(\lambda E - A) v^\mathrm{T}=0.\]

• Řešení nápovědy 2 – vlastní vektory

  Pro nalezení vlastního vektoru příslušícího vlastnímu číslu \(\lambda_1\) budeme řešit homogenní soustavu lineárních rovnic \[(\lambda_1 E - A) v^\mathrm{T}=0.\] Maticí soustavy je charakteristická matice matice \(A\) do níž je dosazeno vlastní číslo \(\lambda_1 = 1\). Řešíme tedy homogenní soustavu \[ \begin{pmatrix} \lambda_1 +1 & 4\\ 1 & \lambda_1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 +1 & 4\\ 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+2I \end{array} \sim \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

  Jeden z řádků matice se vynuloval, dimenze řešení je tedy \(1\). Nenulovým řešením soustavy je například vektor \(v_1 = (1{,}2)\), neboť \(2{\cdot} 1 + 4{\cdot} 2 = 0\) (jsme v \(\mathbb{Z}_5\)!).

  Vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_1 = 1\) je vektor \(v_1=(1{,}2).\)

  ---

  Pro nalezení vlastního vektoru příslušícího vlastnímu číslu \(\lambda_2\) budeme řešit homogenní soustavu lineárních rovnic \[(\lambda_2 E - A) v^\mathrm{T}=0.\] Maticí soustavy je charakteristická matice matice \(A\) do níž je dosazeno vlastní číslo \(\lambda_2 = 2\). Řešíme tedy homogenní soustavu \[ \begin{pmatrix} \lambda_2 +1 & 4\\ 1 & \lambda_2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 +1 & 4\\ 1 & 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ 2II+I \end{array} \sim \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 0 & 0 \end{pmatrix} . \]

  Jeden z řádků matice se vynuloval, dimenze řešení je tedy \(1\). Nenulovým řešením soustavy je například vektor \(v_2 = (2{,}1)\), neboť \(3{\cdot} 2 + 4{\cdot} 1 = 0\) (jsme v \(\mathbb{Z}_5\)!).

  Vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_2 = 2\) je vektor \(v_1=(2{,}1).\)

• Odpověď

  Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_5\) jsme našli

  • charakteristickou matici \(\begin{pmatrix} \lambda +1 & 4\\ 1 & \lambda + 1 \end{pmatrix}\),
  • charakteristický polynom \(p(\lambda) =\lambda^2 + 2\lambda + 2\),
  • vlastní čísla \(\lambda_1 = 1,\ \lambda_{2} = 2\),
  • a k ním po řadě vlastní vektory \(v_1=(1{,}2),\ v_2=(2{,}1)\).