Báze vektorového prostoru

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Báze vektorového prostoru

Úloha číslo: 1367

Uvažujme definici

(i) Báze vektorového prostoru

Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\).

Bází vektorového prostoru \(V\) budeme rozumět každou lineárně nezávislou množinu generátorů prostoru \(V\).

Poznámka: Báze triviálního (nulového) prostoru je prázdná množina.

Důležitou vlastnost báze představuje věta

(ii) O bázi vektorového prostoru

Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\) a \(M\) jeho podmnožina.

Podmnožina \(M\) vektorového prostoru \(V\) je jeho bází právě tehdy, když každý vektor \(v\in V\) lze právě jediným způsobem vyjádřit jako lineární kombinaci navzájem různých vektorů množiny \(M\).

Na předchozí větu navazuje definice

(iii) Souřadnice vektoru vzhledem k bázi

Koeficienty \((a_1,\dots,a_n)\) lineární kombinace z předchozí věty nazýváme souřadnice vektoru \(v\) vzhledem k bázi \(M\).

Značíme \({\langle v \rangle}_\mathrm{M}\). Čteme „souřadnice vektoru \(V\) vzhledem k bázi \(M\)“.

Zbývá zavést pojem dimenze vektorového prostoru poslední definicí

(iv) Dimenze vektorového prostoru

Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\) a \(M\) jeho podmnožina.

Zmíníme ještě důležité vlastnosti

(v) Některé z vlastností báze

Každý vektorový prostor má bázi.
Každé dvě báze vektorového prostoru mají stejný počet prvků.

Úkol:

Napište nějakou bázi vektorových prostorů

\(T^n\) nad \(T\),
\(T^{n\times n}\),
\(\mathbb{C}\) nad \(\mathbb{R}\).

Nápověda
Dle definice báze je třeba najít množinu vektorů příslušného prostoru, která
- je lineárně nezávislá,
- prostor generuje.
Jaké vektory v množinách potřebujeme, abychom sčítáním jejich libovolných násobků nagenerovali celý prostor? Množina musí být lineárně nezávislá!
Řešení nápovědy
- Bází vektorového prostoru \(T^n\)nad \(T\) může být např. kanonická báze:
  \[\bigg\lbrace\big(1{,}0,0\dots,0\big),\big(0{,}1,0,\dots,0\big),\dots,\big(0{,}0,0,\dots,1\big)\bigg\rbrace.\] \[\color{grey}{n~\mathrm{vektorů}}\]
- Bází vektorového prostoru \(T^{n\times n}\) může být být například množina:
  \[ \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\\ \end{pmatrix} \right\}. \] \[\color{grey}{{nm~\mathrm{matic}}}\]
- Bází vektorového prostoru \(\mathbb{C}\) nad \(\mathbb{R}\) bude zřejmě dvouprvková množina, neboť komplexní čísla lze zobrazit pomocí dvou „os“ (reálná a imaginární) v Gaussově rovině. Bází je tedy množina obsahující reálné a imaginární číslo a pro jednoduchost například přímo jednotky:
  \[\lbrace 1,i \rbrace.\] \[\color{grey}{2~\mathrm{prvky}}\]

Báze vektorového prostoru

Úloha číslo: 1367

Nápověda

Řešení nápovědy