Maticový rozbor IX.

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Úloha číslo: 1432

Určete charakteristický polynom, spektrum, vlastní čísla, vlastní vektory, stopu, determinant a minimální polynom matice \(A\) nad tělesem \(\mathbb{C}\). Pomocí minimálního polynomu určete inverzní matici k matici \(A\). Najděte Jordanův kanonický tvar a příslušnou Jordanovu bázi matice \(A\). \[ A= \begin{pmatrix} i & 0 & 3+5i \\ 1-i & 2i & 3+2i \\ 0 & 0 & 3i \end{pmatrix} \]

Poznámka
K řešení této úlohy je třeba znát pojmy detailně představené v úlohách
Nápověda 1 – char. polynom, spektrum, vlastní čísla
Určete charakteristický polynom, spektrum a vlastní čísla matice \(A\).

Charakteristický polynom je determinant matice \(\lambda E- A\), vlastní čísla jsou jeho kořeny. Spektrum je soubor vlastních čísel, zohledňující jejich násobnost v charakteristickém polynomu. Podrobněji v úloze Základní pojmy.
Řešení nápovědy 1 – char. pol., spektrum, vlastní čísla
Nejprve určíme charakteristický polynom, tedy determinant charakteristické matice \(\lambda E- A\) \[ p(\lambda) = \det(\lambda E - A)= \begin{vmatrix} \lambda - i & 0 & -3-5i \\ -1+i & \lambda - 2i & -3-2i \\ 0 & 0 & \lambda -3i \end{vmatrix}= \] Determinant můžeme vypočítat rozvojem podle třetího řádku. \[ = (-1)^6(\lambda-3i)\big[(\lambda - 2i)(\lambda - i) + 0\big]= (\lambda-i)(\lambda-2i)(\lambda-3i). \] Vlastní čísla jsou kořeny tohoto polynomu \[ \begin{eqnarray} \lambda_1 &=& \,i, \\ \lambda_2 &=& 2i, \\ \lambda_3 &=& 3i. \end{eqnarray} \] Spektrum je soubor vlastních čísel, který zohledňuje násobnost \[\big\lbrace i,{}2i,{}3i\big\rbrace.\]
Nápověda 2 – vlastní vektory
Určete vlastní vektory matice \(A\).

Vlastní vektor matice \(A\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda\) je nenulový vektor splňující rovnost \(Av^\mathrm{T} = \lambda v^\mathrm{T}\). Více o vlastních vektorech viz úloha Vlastní vektory.

Z definice vlastního vektoru plyne, že jej lze hledat jako nenulové řešení homogenní soustavy \((\lambda E -A)v^\mathrm{T} = 0\). Viz odvození.
Řešení nápovědy 2 – vlastní vektory
Hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_1 = i\).
Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy \((iE -A)u^\mathrm{T} = 0\).
\[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3-5i \\ i-1 & -i & -3-2i \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} -1+i & -i & -3-2i \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] \[ \hspace{3.6cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1.6cm} \big[\begin{pmatrix} i & i-1 & 0 \\ \end{pmatrix}\big] \] Jako vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_1=i\) volme například násobek \[u=-i\cdot(i,{}i-1,{}0) = (1,{}1+i,0).\]

Hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_2 = 2i\).
Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy \((2iE -A)v^\mathrm{T} = 0\).
\[ \begin{pmatrix} i & 0 & -3-5i \\ i-1 & 0 & -3-2i \\ 0 & 0 & -i \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -5+3i \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] \[ \hspace{2.4cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1.6cm} \big[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\big] \] Vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_2=2i\) je například vektor \[v= (0,{}1,{}0).\]

Hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_3 = 3i\).
Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy \((3iE -A)w^\mathrm{T} = 0\).
\[ \begin{pmatrix} 2i & 0 & -3-5i \\ i-1 & i & -3-2i \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} 2i\ & \ 0 & -3-5i \\ 0\ & \ 2 & 4+8i \\ \end{pmatrix} \] \[ \hspace{1.8cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1.6cm} \big[\begin{pmatrix} -5+3i & 4+8i & -2 \\ \end{pmatrix}\big] \] Vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_3=3i\) je například vektor \[v= (-5+3i,{}4+8i,{}-2).\]
Máme tři lineárně nezávislé vlastní vektory, existuje tedy báze prostoru \(T^{3}\),
tj. dle věty o podobnosti diagonální matici je matice diagonalizovatelná.
Nápověda 3 – stopa, determinant
Určete stopu a determinant matice \(A\).

Absolutní člen charakteristického polynomu vynásobený \((-1)^{n}\), kde \(n\) je řád matice, určuje determinant. Opačný prvek ke koeficientu u \(\lambda^{n-1}\) určuje stopu.

V případě úplně rozložitelného charakteristického polynomu matice lze stopu vypočítat i jako součet vlastních čísel, determinant pak jako jejich součin.

Určení stopy a determinantu matice z charakteristického polynomu je popsáno v úloze Stopa, determinant a charakteristický polynom.
Řešení nápovědy 3 – stopa, determinant
Již známe charakteristický polynom matice \(A\) ve tvaru součinu \[p(\lambda) = (\lambda-i)(\lambda-2i)(\lambda-3i).\] Roznásobením získáme \[ p(\lambda) = \lambda^3 \color{blue}{- 6i}\lambda^2 - 11\lambda + \color{green}{6i}. \] Absolutní člen polynomu je \(\color{green}{6i}\), koeficient u druhé nejvyšší mocniny je \(\color{blue}{-6i}\). Proto \[ \begin{eqnarray} (-1)^3 \det A &=& \color{green}{6i} \\ \det A &=& -6i \end{eqnarray} \] a \[ \begin{eqnarray} -\mathrm{tr\,} A &=& \color{blue}{-6i} \\ \mathrm{tr\,} A &=& 6i. \end{eqnarray} \] Neboť je charakteristický polynom úplně rozložitelný, lze stopu a determinant vypočítat rychleji užitím spektra matice \(\lbrace i,{}2i,{}3i \rbrace\) \[ \begin{eqnarray} &&\det A = i\cdot{}2i\cdot{}3i = -6i,\\ &&\mathrm{tr\,} A = i + 2i + 3i = 6i. \end{eqnarray} \] Správnost výpočtu si můžeme ověřit třetím způsobem. Stopu určíme z definice a determinant rozvojem například podle třetího řádku. \[ \mathrm{tr\,}A = \sum_{i=1}^3 a_\mathrm{ii} = a_{11} + a_{22} + a_{33} = i + 2i + 3i = 6i. \] \[ \det A = \begin{vmatrix} i & 0 & 3+5i \\ 1-i & 2i & 3+2i \\ 0 & 0 & 3i \end{vmatrix} = (-1)^6 3i \left[2i^2 -0\right] = -6i. \]
Nápověda 4 – minimální polynom
Nalezněte minimální polynom matice \(A\).

Minimální polynom je normovaný anulující polynom matice \(A\) nejmenšího možného stupně. Jeho hledáním jsme se zabývali v příkladě Minimální polynom.
Řešení nápovědy 4 – minimální polynom
Každý ireducibilní polynom, který dělí charakteristický polynom, dělí i polynom minimální, viz věta. Minimálním polynomem je tedy přímo polynom charakteristický. \[ m(\lambda) = p(\lambda) = (\lambda-i)(\lambda-2i)(\lambda-3i) = \lambda^3 - 6i\lambda^2 - 11\lambda + 6i \] To, že je anulující, víme z Cayley-Hamiltonovy věty.
Nápověda 5 – inverzní matice
Určete inverzní matici k matici \(A\). K výpočtu užijte jejího anulujícího polynomu.
Řešení nápovědy 5 – inverzní matice
Pro matici \(A\) jsme nalezli minimální polynom \[ m(\lambda) = \lambda^3 - 6i\lambda^2 - 11\lambda + 6i. \] Tento polynom je pro matici \(A\) anulující \[ m(A) = A^3 - 6iA^2 - 11A + 6i = O. \] Postupnou úpravou dostáváme \[ \begin{eqnarray} A^3 - 6iA^2 - 11A + 6i &=& O \qquad\qquad | \cdot A^{-1} \\ A^2 - 6iA - 11E + 6iA^{-1} &=& O \qquad\qquad | -A^2 + 6iA + 11E \\ 6iA^{-1} &=& -A^2 + 6iA + 11E \qquad\qquad | \cdot -\frac{i}{6} \\ A^{-1} &=& \frac{1}{6}\left(iA^2 + 6A - 11iE\right) \end{eqnarray} \] Dosazením do výsledného vztahu získáme hledanou inverzní matici. Nejprve ale vypočítejme dílčí členy v součtu
- \( iA^2 = i \begin{pmatrix} i & 0 & 3+5i \\ 1-i & 2i & 3+2i \\ 0 & 0 & 3i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 & 3+5i \\ 1-i & 2i & 3+2i \\ 0 & 0 & 3i \end{pmatrix}= \)\( =i \begin{pmatrix} -1 & 0 & -20+12i \\ 3+3i & -4 & -2+17i \\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & 0 & -12-20i \\ -3+3i & -4i & -17-2i \\ 0 & 0 & -9i \end{pmatrix}, \)
- \( 6A = 6\begin{pmatrix} i & 0 & 3+5i \\ 1-i & 2i & 3+2i \\ 0 & 0 & 3i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6i & 0 & 18+30i \\ 6-6i & 12i & 18+12i \\ 0 & 0 & 18i \end{pmatrix}, \)
- \( -11iE = -11 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -11i & 0 & 0 \\ 0 &-11i & 0 \\ 0 & 0 & -11i \end{pmatrix}. \)
Získané dílčí výsledky dosadíme a sečteme \[ A^{-1} = \frac{1}{6}\left(iA^2 + 6A - 11iE\right) = \] \[ =\frac{1}{6}\Bigg[ \begin{pmatrix} -i & 0 & -12-20i \\ -3+3i & -4i & -17-2i \\ 0 & 0 & -9i \end{pmatrix} + \] \[ + \begin{pmatrix} 6i & 0 & 18+30i \\ 6-6i & 12i & 18+12i \\ 0 & 0 & 18i \end{pmatrix} + \] \[ + \begin{pmatrix} -11i & 0 & 0 \\ 0 &-11i & 0 \\ 0 & 0 & -11i \end{pmatrix} \Bigg]= \] \[ = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -6i & 0 & 6+10i \\ 3-3i & -3i & 1+10i \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix}. \]
Můžeme si ověřit správnost výpočtu. Ano, matice jsou skutečně inverzní, protože \[ \frac{1}{6} \begin{pmatrix} -6i & 0 & 6+10i \\ 3-3i & -3i & 1+10i \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 & 3+5i \\ 1-i & 2i & 3+2i \\ 0 & 0 & 3i \end{pmatrix} \hspace{-0.1cm} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =E. \]
Nápověda 6 – Jordanův kanonický tvar
Existuje nad \(\mathbb{C}\) Jordanův kanonický tvar \(J\) matice \(A\)? V kladném případě jej nalezněte a určete příslušnou bázi.

Existenci Jordanova kanonického tvaru pomůže ukázat tato věta.
Řešení nápovědy 6 – Jordanův kanonický tvar
Charakteristický polynom matice \[p(\lambda) = (\lambda - i)(\lambda - 2i)(\lambda - 3i)\]
je nad \(\mathbb{C}\) rozložitelný na lineární faktory. Je tak splněn předpoklad této věty a matice \(A\) má nad \(\mathbb{C}\) Jordanův kanonický tvar.

Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů obecně odpovídá počtu Jordanových buněk v Jordanově matici. V tomto případě máme tři vlastní vektory (\(u,v,w\)), matice \(J\) tedy bude obsahovat tři Jordanovy buňky.

Jordanova matice řádu \(3\) o třech Jordanových buňkách je ale maticí diagonální! Opravdu, je splněn předpoklad diagonalizovatelnosti, minimální polynom matice
\[ m(\lambda) = (\lambda-i)(\lambda-2i)(\lambda-3i) \]
je rozložitelný v lineární faktory a má jednoduché kořeny. Existuje báze prostoru \(\mathbb{C}^3\) složená z vlastních vektorů.

Diagonální tvar je pouze speciálním případem Jordanova kanonického tvaru!

Proto můžeme postupovat jako v úloze hledající diagonální tvar.
Diagonálním tvarem (popř. Jordanovou maticí) \(J\) je tedy matice, na jejíž hlavní diagonále jsou vlastní čísla. \[ J = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & 2i& 0 \\ 0 & 0 & 3i \end{pmatrix} \] Příslušná báze je tvořena různými vlastními vektory po řadě příslušící vlastním číslům na hlavní diagonále, tj. \[ B = \big\lbrace (1+i,{}2i,{}0), (0,{}1,{}0),(-5+3i,{}4+8i,-2) \big\rbrace. \]
Ověření
Ověříme, že skutečně endomorfismus \(f\), který má ke kanonické bázi matici \[A= \begin{pmatrix} i & 0 & 3+5i \\ 1-i & 2i & 3+2i \\ 0 & 0 & 3i \end{pmatrix},\] má k bázi \[ B = \big\lbrace (1+i,{}2i,{}0), (0,{}1,{}0),(-5+3i,{}4+8i,-2) \big\rbrace \] Jordanovu matici \[ J = \left(\begin{array}{rrr} i & 0 & 0 \\ 0 & 2i & 0 \\ 0 & 1 & 3i \end{array}\right). \]
Maticí přechodu od báze \(B\) ke kanonické bázi je matice \[ S = \begin{pmatrix} 1+i & 0 & -5+3i \\ 2i & 1 & 4+8i \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}. \]
Nejprve určíme inverzní matici k matici \(S\), např. metodou užitou v tomto příkladě.
\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1+i & 0 & -5+3i \,& \\ 2i & 1 & 4+8i \,& E \\ 0 & 0 & -2 \,& \end{array}\right) \sim \ldots \sim \left(\begin{array}{c|ccc} &\, 1-i & 0 & -1+4i \\ 2E &\,-2-2i & 2 & 12+10i \\ &\, 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \] \[ S^{-1}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1-i & 0 & -1+4i \\ -2-2i & 2 & 12+10i \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Matice endomorfismu vůči bázi \(B\) je dána maticovým součinem \[ S^{-1} A S = \] \[ \hspace{-0.6em}=\hspace{-0.3em}\frac{1}{2}\hspace{-0.4em} \begin{pmatrix} 1-i & 0 & -1+4i \\ -2-2i & 2 & 12+10i \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\hspace{-0.6em} \begin{pmatrix} i & 0 & 3+5i \\ 1-i & 2i & 3+2i \\ 0 & 0 & 3i \end{pmatrix}\hspace{-0.6em} \begin{pmatrix} 1+i & 0 & \hspace{-0.3em}-5+3i \\ 2i & 1 & \hspace{-0.3em}4+8i \\ 0 & 0 & \hspace{-0.3em}-2 \end{pmatrix}\hspace{-0.5em}= \] \[ = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rrr} 1+i & 0 & -4-i \\ 4-4i & 4i & -20+24i \\ 0 & 0 & -3i \end{array}\right) \begin{pmatrix} 1+i & 0 & -5+3i \\ 2i & 1 & 4+8i \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} = \] \[ = \left(\begin{array}{rrr} i & 0 & 0 \\ 0 &2i & 0 \\ 0 & 0 & 3i \end{array}\right) = J. \] Dostali jsme skutečně Jordanovu matici \(J\). Matice \(J,A\) jsou podobné, maticí zprostředkující podobnost je matice \(S\).
Odpověď
Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{C}\) jsme našli
- charakteristický polynom \(p(\lambda) = (\lambda-i)(\lambda-2i)(\lambda-3i)\),
- minimální polynom \(m(\lambda) = (\lambda-i)(\lambda-2i)(\lambda-3i)\),
- vlastní čísla \(\lambda_1 = i\) a \(\lambda_2 = 2i\) a \(\lambda_3 = 3i\),
- spektrum \(\lbrace i,{}2i,{}3i \rbrace\),
- determinant \(\det A = -6i\),
- stopu \(\mathrm{tr\,}A = 6i\),
- vlastní vektor pro \(\lambda_1\) \(u=(1+i,{}2i,{}0)\), pro \(\lambda_2\) \(v=(0,{}1,{}0)\),
  pro \(\lambda_3\) \(w=(-5+3i,{}4+8i,-2)\),
- inverzní matici \(\frac{1}{6} \begin{pmatrix} -6i & 0 & 6+10i \\ 3-3i & -3i & 1+10i \\ 0 & 0 & -2i \end{pmatrix}\).
Vzhledem k bázi
\[ B = \big\lbrace (1+i,{}2i,{}0), (0,{}1,{}0),(-5+3i,{}4+8i,-2) \big\rbrace \] má matice \(A\) Jordanův kanonický tvar \[ J = \left(\begin{array}{rrr} i & 0 & 0 \\ 0 & 2i & 0 \\ 0 & 1 & 3i \end{array}\right). \]