Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Jordanovy matice
Úloha číslo: 1422
Jsou dány matice \(A,B,\dots,M\) nad \(\mathbb{R}\). Které z nich jsou Jordanovy matice?
\[
A=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
C=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\]
\[
D=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0\\
1 & 3 & 0 & 0\\
0 & 1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix},
\quad
E=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 5
\end{pmatrix},
\quad
F=
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0\\
1 & 4 & 0 & 0\\
0 & 1 & 4 & 0\\
0 & 0 & 1 & 4
\end{pmatrix},
\]
\[
G=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
H=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 7
\end{pmatrix},
\qquad
I=
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix},
\]
\[
J=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix},
\quad
K=
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 1\\
4 & 1 & 4\\
1 & 4 & 1
\end{pmatrix},
\quad
L=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 2\\
0 & 2 & 1\\
4 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
M=
\begin{pmatrix}
6
\end{pmatrix}.
\]
Co jsou Jordanovy matice?
Jordanova matice je blokově diagonální matice, jejíž diagonální bloky jsou tvořeny tzv. Jordanovými buňkami.
Jordanovými buňkami rozumíme bloky, které mají na hlavní diagonále prvek \(a\in T\) a pod hlavní diagonálou jedničky. Tedy bloky
\[ \begin{pmatrix} a \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & a & 0 & 0\\ 0 & 1 & a & 0\\ 0 & 0 & 1 & a \end{pmatrix},\ \ldots \] Příklad Jordanovy matice (Jordanovy buňky značeny barevně) \[ \begin{pmatrix} \color{blue}{2} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} &\color{blue}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{green}{7} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & \color{red}{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \color{orange}{\pi} \\ \end{pmatrix}. \]Nápověda
Jordanovy matice jsou blokově diagonální matice, které mají na diagonále Jordanovy buňky. Které z matic \(A,\ldots,M\) tuto podmínku splňují?Odpověď
Jordanovy matice jsou matice \(A,B,D,F,G,H,I\) a \(M\).
