Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Jordanovy matice

Úloha číslo: 1422

Jsou dány matice \(A,B,\dots,M\) nad \(\mathbb{R}\). Které z nich jsou Jordanovy matice? \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \] \[ D= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad E= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad F= \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \] \[ G= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad H= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}, \qquad I= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \] \[ J= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad K= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 1 & 4\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad L= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad M= \begin{pmatrix} 6 \end{pmatrix}. \]
  • Co jsou Jordanovy matice?

    Jordanova matice je blokově diagonální matice, jejíž diagonální bloky jsou tvořeny tzv. Jordanovými buňkami.

    Jordanovými buňkami rozumíme bloky, které mají na hlavní diagonále prvek \(a\in T\) a pod hlavní diagonálou jedničky. Tedy bloky

    \[ \begin{pmatrix} a \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & a & 0 & 0\\ 0 & 1 & a & 0\\ 0 & 0 & 1 & a \end{pmatrix},\ \ldots \] Příklad Jordanovy matice (Jordanovy buňky značeny barevně) \[ \begin{pmatrix} \color{blue}{2} & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{blue}{1} & \color{blue}{2} & \color{blue}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{blue}{0} & \color{blue}{1} &\color{blue}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{green}{7} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{1} & \color{red}{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \color{orange}{\pi} \\ \end{pmatrix}. \]
  • Nápověda

    Jordanovy matice jsou blokově diagonální matice, které mají na diagonále Jordanovy buňky. Které z matic \(A,\ldots,M\) tuto podmínku splňují?
  • Odpověď

    Jordanovy matice jsou matice \(A,B,D,F,G,H,I\) a \(M\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze