Sbírka řešených úloh

Vektorový prostor

Úloha číslo: 1349

• 1) Nápověda

  První čtyři axiomy vlastně představují axiomy komutativní grupy. S těmito axiomy jsme se již setkali při určování, zda-li je příslušná operace na dané množině binární. Byly tam však ještě čtyři analogické axiomy k operaci násobení navíc.

  Poslední čtyři axiomy ukazují, jakým způsobem jsou vázány skaláry a vektory operací násobení \((\cdot)\). Ta zde však není operací binární – operace je mezi dvěma různými množinami!

  Pokuste se správně přiřadit následující termíny k axiomům.

  • Násobení \((\cdot) \) vektoru součinem skalárů
  • Násobení \((\cdot) \) součtu vektorů skalárem
  • Násobení \((\cdot) \) vektoru součtem skalárů
  • Existence opačného vektoru ve \(V\)
  • Komutativita sčítání \((+)\) vektorů ve \(V\)
  • Existence nulového vektoru \(o\) ve \(V\)
  • Existence jednotkového prvku v \(T\)
  • Asociativita sčítání \((+)\) vektorů ve \(V\)

• 1) Řešení nápovědy

  \[ \begin{array}{rll} \mathrm{(i)} & \forall\,x,y,z \in V:& \quad (x+y)+z = x + (y+z)\\ && \mathrm{Asociativita~sčítání~}(+)~\mathrm{vektorů~ve~}V\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,x,y\in V: & \quad x+y = y+x\\ &&\mathrm{Komutativita~sčítání}~(+)~\mathrm{vektorů~ve}~V\\ \mathrm{(iii)} & \exists o\in V:~~\forall x\in V: & \quad o + x = x\\ &&\mathrm{Existence~nulového~vektoru}~o~\mathrm{ve}~V\\ \mathrm{(iv)} & \forall x \in V~~\exists ~-\bar{x} \in V: & \quad x + (-\bar{x}) = o\\ &&\mathrm{Existence~opačného~vektoru~ve~}~V\\ \mathrm{(v)} & \forall a\in T~~\forall x,y \in V: & \quad a\cdot(x+y) = a\cdot x + a\cdot y\\ &&\mathrm{Násobení}~(\cdot)~\mathrm{součtu~vektorů~skalárem}\\ \mathrm{(vi)} & \forall a,b \in T~~\forall x \in V: & \quad (a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x\\ &&\mathrm{Násobení}~(\cdot)~\mathrm{vektoru~součtem~skalárů}\\ \mathrm{(vii)} & \forall a,b \in T~~\forall x \in V: & \quad (a\ast b)\cdot x= a \cdot (b\cdot x)\\ &&\mathrm{Násobení~vektorů~součinem~skalárů}\\ \mathrm{(viii)} & \forall x \in V: & \quad 1\cdot x = x\\ &&\mathrm{Existence~jednotkového~prkvu~v}~T\\ \end{array} \]

  ---

  Poznámka: Axiomy (v) a (vi) se někdy nesprávně označují distributivitou a (vii) asociativitou násobení. Ač axiomy „vypadají“ jako distributivní a asociativní zákony, nejsou jimi. Vážou totiž v různých kombinacích operace původem různé:

  • Lineární operaci sčítání \((+)\) ve \(V\)
  • Dvě binární operace ze struktury pole \(T\)
  • Operaci násobení prvků množiny \(V\) s prvky pole \(T\)

  Vidíme, že první operace je definována na množině \(V\), druhá dvojice operací je uvězněná ve struktuře pole \(T\) a poslední operace (není binární) je dokonce mezi prvky pole \(T\) a množiny \(V\)!

• 2) Nápověda

  Již na střední škole se pracuje s vektory. Uvažujte množinu všech vektorů v rovině vycházejících z bodu \(O\).

  Tvoří tato množina vektorů s obvyklými operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem vektorový prostor? Nad jakým polem?

  Dokážete vymyslet další příklady vektorových prostorů?

• 2) Řešení nápovědy

  Vektory v rovině dokážeme sčítat, dokážeme je násobit reálným číslem. Výsledkem je v obou případech opět vektor roviny. Axiomy komutativní grupy (i) až (iv) jsou pro sčítání vektorů splněny stejně jako axiomy (v) až (viii) představující různé možnosti násobení vektorů reálnými čísly.

  Množina všech vektorů v rovině vycházejících z bodu \(O\) tedy tvoří vektorový prostor nad polem reálných čísel – tj. reálný prostor.

  Uveďme příklady dalších vektorových prostorů:

  • polynomy s komplexními koeficienty – prostor polynomů nad polem \(\mathbb{C}\)
  • \(n\)-tice prvků konečného pole – \(~\mathbb{Z}_p^n = \lbrace (a_1,\dots,a_n);\,a_i\in \mathbb{Z}_p\rbrace\)
  • matice \(m\times n\) nad polem \(T\)
  • \(\dots\)

• 3) Nápověda

  V definici vektorového prostoru je zavedena operace násobení \((\cdot)\) vektorů množiny \(V\) se skaláry pole \(T\).

  Připomeňme, že uvažované pole \(T\) je struktura \(T(M;{+}^\prime, \ast)\), kde \(M\) je množina a operace \(+^\prime\) a \(\ast\) jsou na ni binární.

• 3) Řešení nápovědy

  Operace \(\cdot\) a \(\ast\) jsou dvě různé operace, proto jsou použity různé symboly.

  • Operace \(\ast\) je binární operace mezi skaláry pole \(T\).
  • Operace \(\cdot\) je operace násobení vektorů množiny \(V\) skaláry z pole \(T\).

  Stejný symbol násobení by pro obě operace bylo možné psát s tím, že bychom museli mít na vědomí, že násobítko mezi prvky pole \(T\) je „jiné“ než násobítko mezi prvkem pole \(T\) a množiny \(V\). V literatuře se tento přístup často užívá.