Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Vektorový prostor

Úloha číslo: 1349

Připomeňte si následující definici vektorového prostoru:

(i) Vektorový prostor

Buďtež \({V}\) množina a \({T}\) pole. Nechť je na množině \({V}\) dána lineární operace sčítání \((+)\) a operace násobení prvků množiny \( V\) prvky pole \({T}(\cdot)\), přičemž výsledkem je vždy prvek množiny \({V}\). Jsou-li splěny axiomy

\[ \begin{array}{rl@{\quad}l} \mathrm{(i)} & \forall\,x,y,z \in V:& \quad (x+y)+z = x + (y+z)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,x,y\in V: & \quad x+y = y+x\\ \mathrm{(iii)} & \exists o\in V:~~\forall x\in V: & \quad o + x = x\\ \mathrm{(iv)} & \forall x \in V~~\exists ~-\bar{x} \in V: & \quad x + (-\bar{x}) = o\\ \mathrm{(v)} & \forall a\in T~~\forall x,y \in V: & \quad a\cdot(x+y) = a\cdot x + a\cdot y\\ \mathrm{(vi)} & \forall a,b \in T~~\forall x \in V: & \quad (a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x\\ \mathrm{(vii)} & \forall a,b \in T~~\forall x \in V: & \quad (a\ast b)\cdot x= a \cdot (b\cdot x)\\ \mathrm{(viii)} & \forall x \in V: & \quad 1\cdot x = x \end{array} \]

pak říkáme, že \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\).

Jestliže \(T=\mathbb{R}\) (resp. \(T=\mathbb{C}\)) pak hovoříme o reálném (resp. komplexním) prostoru. Prvky množiny \(V\) se nazývají vektory, prvky pole \(T\) se nazývají skaláry.

Úkoly:
  1. Definici vektorového prostoru obsahuje osm axiomů (i) až (vii). Axiomy pojmenujte a jejich symbolický zápis přeložte do slovní podoby.

  2. Uveďte příklady vektorových prostorů. Neopomeňte uvést, nad jakým polem prostor je.

  3. Všimněte si, že v axiomech se vyskytují dva symboly pro násobení – symbol \(\cdot\) a \(\ast\) . Nestačilo by použít pro násobení stejný symbol?
  • 1) Nápověda

    První čtyři axiomy vlastně představují axiomy komutativní grupy. S těmito axiomy jsme se již setkali při určování, zda-li je příslušná operace na dané množině binární. Byly tam však ještě čtyři analogické axiomy k operaci násobení navíc.

    Poslední čtyři axiomy ukazují, jakým způsobem jsou vázány skaláry a vektory operací násobení \((\cdot)\). Ta zde však není operací binární – operace je mezi dvěma různými množinami!

    Pokuste se správně přiřadit následující termíny k axiomům.

    • Násobení \((\cdot) \) vektoru součinem skalárů
    • Násobení \((\cdot) \) součtu vektorů skalárem
    • Násobení \((\cdot) \) vektoru součtem skalárů
    • Existence opačného vektoru ve \(V\)
    • Komutativita sčítání \((+)\) vektorů ve \(V\)
    • Existence nulového vektoru \(o\) ve \(V\)
    • Existence jednotkového prvku v \(T\)
    • Asociativita sčítání \((+)\) vektorů ve \(V\)
  • 2) Nápověda

    Již na střední škole se pracuje s vektory. Uvažujte množinu všech vektorů v rovině vycházejících z bodu \(O\).

    Tvoří tato množina vektorů s obvyklými operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem vektorový prostor? Nad jakým polem?

    Dokážete vymyslet další příklady vektorových prostorů?

  • 3) Nápověda

    V definici vektorového prostoru je zavedena operace násobení \((\cdot)\) vektorů množiny \(V\) se skaláry pole \(T\).

    Připomeňme, že uvažované pole \(T\) je struktura \(T(M;{+}^\prime, \ast)\), kde \(M\) je množina a operace \(+^\prime\) a \(\ast\) jsou na ni binární.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze