Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Definice a vlastnosti matice

Úloha číslo: 1296

Uvažujte následující definici matice.
(i) Matice

Nechť je dána množina \(M\) a čísla \(m, n \in \mathbb{N}\).

Maticí \(A\) typu \(m \times n\) nad množinou \(M\) budeme rozumět obdélníkové schéma

\[A=\underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}}_n \bigg\}m,\]

kde \(a_{ij}\in M\)

i = 1 …m   řádkový index
j = 1 …m   sloupcový index

Matici A zapisujeme \(A=(a_{ij})\) nebo podrobněji \(A=(a_{ij})_{m\times n}\).

Jestliže \(m=n\), pak nazveme matici \(A\) čtvercovou maticí řádu \(n\) a množinu prvků

\(\left\{a_{ii};~i=1,\ldots, n \right\}\)  její hlavní diagonálou,
\(\left\{a_{ij};~i=1,\ldots, n;~j=n+1-i \right\}\)  její vedlejší diagonálou.

Úkol:

Nalezněte příklady ke speciálním typům matic
  1. symetrická
  2. antisymetrická
  3. diagonální
  4. horní trojúhelníková
  5. dolní trojúhelníková
  6. skalární
  7. jednotková
  8. elemntární transformační
  9. invertibilní/regulární
  10. transponovaná
  • Nápověda 1 – symetrická matice

    Matice \(A\) je symetrická, jestliže platí:

    \[a_{ij}=a_{ji} \qquad \forall i,j= 1,\ldots,n. \]
  • Nápověda 2 – antisymetrická matice

    Matice \(A\) je antisymetrická, jestliže platí:

    \[a_{ij}= -a_{ji} \qquad \forall i,j= 1,\ldots,n. \]
  • Nápověda 3 – diagonální matice

    Matice \(A\) je diagonální, jestliže platí:

    \[a_{ij}=0 \qquad \forall i,j= 1,\ldots ,n:~ i\neq j. \]
  • Nápověda 4 – horní trojúhelníková matice

    Matice \(A\) je horní trojúhelníková, jestliže platí:

    \[a_{ij}=0 \qquad \forall i,j= 1,\ldots, n :~ i \gt j .\]
  • Nápověda 5 – dolní trojúhelníková matice

    Matice \(A\) je horní trojúhelníková, jestliže platí:

    \[a_{ij}=0 \qquad \forall i,j= 1,\ldots, n :~ i \lt j .\]
  • Nápověda 6 – skalární matice

    Matice \(A\) je skalární, jestliže platí:

    \[ \begin{array}{lll} a_{ij}=0 & \forall i,j= 1,\ldots, n : & i \neq j,\\ a_{ij}=c\in M & \forall i,j= 1,\ldots, n : & i = j.\\ \end{array} \]
  • Nápověda 7 – jednotková matice

    Matice \(A\) je jednotková, jestliže platí:

    \[ \begin{array}{lll} a_{ij}=0 & \forall i,j= 1,\ldots, n : & i \neq j,\\ a_{ij}=1\in M & \forall i,j= 1,\ldots, n : & i = j.\\ \end{array} \]
  • Nápověda 8 – elementární transformační matice

    Elementární trasformační maticí (ETM) rozumíme čtvercovou invertibilní matici, která se nejvýše na jednom místě liší od jednotkové matice \(E\).

    • ETM 1. typu se od \(E\) liší prvekm na hlavní diagonále.
    • ETM 2. typu se od \(E\) liší prvkem vně hlavní diagonále.

    Poznámka: násobení elementárními transformačními maticemi zleva (resp. zprava) představuje elementární maticové úpravy na řádky (resp. sloupce).

  • Nápověda 9 – invertibilní/regulární matice

    Matice \(A\) je invertibilní/regulární, jestliže existuje matice \(A^{-1}\) taková, že \[A \cdot A^{-1}=E.\] Matici \(A^{-1}\) nazýváme maticí inverzní k matici \(A\).

  • Nápověda 10 – transponovaná matice

    Nechť \(A=(a_{ij})\) je matice typu \(m \times n\) nad množinou M.

    Matice \(A^{T}=(a^{*}_{ji})\) typu \(n \times m\) je maticí transponovanou k matici \(A\), jestliže pro její prvky platí:

    \[a^*_{ji}=a_{ij}\qquad \forall i=1, \ldots, m;\ j=1,\ldots, n.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze