Sbírka řešených úloh

Definice a vlastnosti matice

Úloha číslo: 1296

• Nápověda 1 – symetrická matice

  Matice \(A\) je symetrická, jestliže platí:

  \[a_{ij}=a_{ji} \qquad \forall i,j= 1,\ldots,n. \]

• Nápověda 1 – symetrická matice

  Symetrická matice je symetrická podle hlavní diagonály. Příkladem symetrické matice je například matice \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 2 – antisymetrická matice

  Matice \(A\) je antisymetrická, jestliže platí:

  \[a_{ij}= -a_{ji} \qquad \forall i,j= 1,\ldots,n. \]

• Řešení nápovědy 2 – antisymetrická matice

  Symetrická matice je až na znaménko symetrická podle hlavní diagonály. Příkladem antisymetrické matice je například matice \[A=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 2 & -3\phantom{i} \\ -2 & 0 & 4\phantom{i} \\ 3 & -4 & 0\phantom{i} \\ \end{array}\right).\] Uvědomte si, že antisymetrická matice má na hlavní diagonále vždy samé nuly.

• Nápověda 3 – diagonální matice

  Matice \(A\) je diagonální, jestliže platí:

  \[a_{ij}=0 \qquad \forall i,j= 1,\ldots ,n:~ i\neq j. \]

• Řešení nápovědy 3 – diagonální matice

  Diagonální maticí je matice, která má na hlavní diagonále libovolná čísla, zatímco na ostatních pozicích jsou nuly. Diagonální maticí je například matice \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 4 – horní trojúhelníková matice

  Matice \(A\) je horní trojúhelníková, jestliže platí:

  \[a_{ij}=0 \qquad \forall i,j= 1,\ldots, n :~ i \gt j .\]

• Řešení nápovědy 4 – horní trojúhelníková matice

  Horní trojúhelníkovou maticí je matice, která má pod hlavní diagonálou samé nuly. Horní trojúhelníkovou maticí je například matice \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 5 – dolní trojúhelníková matice

  Matice \(A\) je horní trojúhelníková, jestliže platí:

  \[a_{ij}=0 \qquad \forall i,j= 1,\ldots, n :~ i \lt j .\]

• Řešení nápovědy 5 – dolní trojúhelníková matice

  Dolní trojúhelníkovou maticí je matice, která má nad hlavní diagonálou samé nuly. Dolní trojúhelníkovou maticí je například matice \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 6 – skalární matice

  Matice \(A\) je skalární, jestliže platí:

  \[ \begin{array}{lll} a_{ij}=0 & \forall i,j= 1,\ldots, n : & i \neq j,\\ a_{ij}=c\in M & \forall i,j= 1,\ldots, n : & i = j.\\ \end{array} \]

• Řešení nápovědy 6 – skalární matice

  Skalární maticí je matice, která má na hlavní diagonále prvek dané množiny, zatímco na ostatních pozicích jsou nuly. Skalární maticí je například matice \[A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 7 – jednotková matice

  Matice \(A\) je jednotková, jestliže platí:

  \[ \begin{array}{lll} a_{ij}=0 & \forall i,j= 1,\ldots, n : & i \neq j,\\ a_{ij}=1\in M & \forall i,j= 1,\ldots, n : & i = j.\\ \end{array} \]

• Řešení nápovědy 7 – jednotková matice

  Jednotkovou maticí je matice, která má na hlavní diagonále jednotkový prvek, zatímco na ostatních pozicích jsou nuly. Jednotkovou maticí je matice \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 8 – elementární transformační matice

  Elementární trasformační maticí (ETM) rozumíme čtvercovou invertibilní matici, která se nejvýše na jednom místě liší od jednotkové matice \(E\).

  • ETM 1. typu se od \(E\) liší prvekm na hlavní diagonále.
  • ETM 2. typu se od \(E\) liší prvkem vně hlavní diagonále.

  Poznámka: násobení elementárními transformačními maticemi zleva (resp. zprava) představuje elementární maticové úpravy na řádky (resp. sloupce).

• Řešení nápovědy 8 – elementární transformační matice

  ETM matice 1. typu se liší od jednotkové matice prvkem na hlavní diagonále. Pozor, matice musí být invertibilní. ETM maticí 1. typu je například matice \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}.\] ETM matice 2. typu se liší od jednotkové matice prvkem vně hlavní diagonálu. Pozor, matice musí být invertibilní. ETM maticí 2. typu je například matice \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 9 – invertibilní/regulární matice

  Matice \(A\) je invertibilní/regulární, jestliže existuje matice \(A^{-1}\) taková, že \[A \cdot A^{-1}=E.\] Matici \(A^{-1}\) nazýváme maticí inverzní k matici \(A\).

• Řešení nápovědy 9 – invertibilní/regulární matice

  Invertibilní/regulární maticí je například matice

  \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \]

  neboť k ní existuje inverzní matice

  \[ A^{-1}=\begin{pmatrix} \phantom{-} 1 & 0 & 0 \\ \phantom{-} 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \] taková, že \[A\cdot A^{-1} = E.\]

• Nápověda 10 – transponovaná matice

  Nechť \(A=(a_{ij})\) je matice typu \(m \times n\) nad množinou M.

  Matice \(A^{T}=(a^{*}_{ji})\) typu \(n \times m\) je maticí transponovanou k matici \(A\), jestliže pro její prvky platí:

  \[a^*_{ji}=a_{ij}\qquad \forall i=1, \ldots, m;\ j=1,\ldots, n.\]

• Řešení nápovědy 10 – transponovaná matice

  Maticí transponovanou k matici \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \] je matice, která vzikne „překlopením“ prvků kolem hlavní diagonály, tj. matice \[ A^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \]