Algebraická struktura I.
Úloha číslo: 1313
Binární operace \(\oplus\) a \(\odot\) jsou dány předpisy \[ \begin{eqnarray} a\oplus b &=& a+b, \\ a \odot b &=& a \cdot b. \\ \end{eqnarray} \]
Rozbor
Máme-li určit, o jakou algebraickou strukturu se jedná, musíme vyšetřit, které z charakteristických vlastností jsou splněny.
Budeme postupovat obdobně, jako v úloze Algebraické struktury a binární operace.
Konkrétně se jedná o tyto vlastnosti.
\[ \begin{array}{rlrcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array}\]Je dobré během postupu zachovat posloupnost ověřování jednotlivých vlastností v pořadí, jak jsou uvedeny výše, protože například neexistence neutrálního prvku vylučuje možnost platnosti existence prvků inverzních, stejně jako neplatnost komutativního zákonu.
Nápověda 1 – asociativita sčítání
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\oplus\) na \(3\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 2 – komutativita sčítání
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\oplus\) na \(3\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 3 – existence nulového prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\oplus\) na \(3\mathbb{Z}\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností celých čísel \(\mathbb{Z}\).
Nápověda 4 – existence opačných prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\oplus\) na \(3\mathbb{Z}\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte vlastností celých čísel \(\mathbb{Z}\).
Nápověda 5 – asociativita násobení
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\odot\) na \(3\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 6 – komutativita násobení
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\odot\) na \(3\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 7 – existence jednotkové prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\odot\) na \(3\mathbb{Z}\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností celých čísel \(\mathbb{Z}\).
Nápověda 8 – existence inverzních prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\odot\) na \(3\mathbb{Z}\) prokážte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte vlastnosti celých čísel.
Uvědomte si, že neutrální prvek vzhledem k operaci \(\odot\) na \(3\mathbb{Z}\) neexistuje.
Nápověda 9 – distributivní zákon
Platnost distributivního zákonu (svazu operací) pro binární operace \(\odot\) a \(\oplus\) na \(3\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly
Neexistenci netriviálních dělitelů nuly pro binární operaci \(\odot\) na \(3\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do znění této vlastnosti a využijte vlastností celých čísel.
Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury
Na základě platnosti jednotlivých vlastností rozhodněte, o jakou algebraickou strukturu se jedná.
Odpověď
Struktura \((3\mathbb{Z};\oplus,\odot)\) je komutativním okruhem.
