Sbírka řešených úloh

Norma a úhel vektorů

Úloha číslo: 1436

• Definice normy a úhlu vektorů

  Připomeňme si definici normy a úhlu vektorů.

  (i) Norma vektoru

  Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

  Normou vektoru \(v\in V\) rozumíme číslo

  \[\lVert v \rVert = \sqrt{f(v,v)}.\]

  Vektor \(v\) se nazývá normovaný (jednotkový), je-li \(\lVert v \rVert=1\).

  Jinak řečeno, norma vektoru je odmocnina ze skalárního součinu tohoto vektoru samého se sebou.

  (ii) Úhel vektoru

  Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

  Úhlem nenulových vektorů \(u,v\in V\) rozumíme číslo \(\varphi\), pro které platí

  \[ \cos \varphi = \frac{f(u,v)}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert},\qquad 0\le \varphi \le \pi. \]

• Nápověda 1 – normy vektorů

  Určete normy vektorů \(a,b\).

  Norma vektoru je dána odmocninou skalárního součinu tohoto vektoru samého se sebou.

• Řešení nápovědy 1 – normy vektorů

  \[ \color{grey}{\mathrm{Skalární\ součin:}\quad f(x,y) = 3x_1y_1 + x_2y_2 + 2x_3y_3. } \] Norma vektoru \(a = (1,{}2,{}3)\) je \[ \lVert a \rVert = \sqrt{f(a,a)} = \sqrt{3a_1a_1 + a_2a_2 + 2a_3a_3} = \] \[ = \sqrt{3\cdot{}1 \cdot{}1 + 2 \cdot{}2 + 2 \cdot{}3 \cdot{}3} = 5. \] Norma vektoru \(b=(1,{}2,{}1)\) je \[ \lVert a \rVert = \sqrt{f(a,a)} = \sqrt{3b_1b_1 + b_2b_2 + 2b_3b_3} = \] \[ = \sqrt{3\cdot{}1 \cdot{}1 + 2 \cdot{}2 + 2 \cdot{}1 \cdot{}1} = 3. \]

• Nápověda 2 – úhel vektorů

  Určete úhel vektorů \(a,b\).

  Kosinus úhlu dvou nenulových vektorů se rovná jejich skalárnímu součinu dělenému normami těchto vektorů.

• Řešení nápovědy 2 – úhel vektorů

  Úhel \(\varphi\) vektorů \(a,b\) vypočítáme ze vztahu \[ \cos \varphi = \frac{f(a,b)}{\lVert a \rVert \lVert b \rVert}. \] Odtud \[ \varphi = \arccos \frac{f(a,b)}{\lVert a \rVert \lVert b \rVert} = \arccos\frac{3a_1b_1 + a_2b_2 + 2a_3b_3}{\lVert a \rVert \lVert b \rVert}. \] Dosazením vektorů \(a,b\) a již vypočítaných norem máme \[ \varphi = \arccos\frac{3\cdot{}1\cdot{}1 + 2\cdot{}2 + 2\cdot{}3\cdot{}1}{5\cdot{}3} = \arccos \frac{13}{15} \doteq 29^\mathrm{\circ}\, 55^\prime. \]

• Odpověď

  Norma vektoru \(a\) je \(5\), norma vektoru \(b\) je \(3\).

  Úhel vektorů \(a,b\) je přibližně \(29^\mathrm{\circ}\, 55^\prime\)