Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Norma a úhel vektorů

Úloha číslo: 1436

Na prostoru \(\mathbb{R}^3\) je dán skalární součin \(f\), který má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření \[ f(x,y) = 3x_1y_1 + x_2y_2 + 2x_3y_3. \] Určete normy a odchylku vektorů \(a=(1,{}2,{}3)\) a \(b=(1,{}2,{}1)\).
  • Definice normy a úhlu vektorů

    Připomeňme si definici normy a úhlu vektorů.

    (i) Norma vektoru

    Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

    Normou vektoru \(v\in V\) rozumíme číslo

    \[\lVert v \rVert = \sqrt{f(v,v)}.\]

    Vektor \(v\) se nazývá normovaný (jednotkový), je-li \(\lVert v \rVert=1\).

    Jinak řečeno, norma vektoru je odmocnina ze skalárního součinu tohoto vektoru samého se sebou.

    (ii) Úhel vektoru

    Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

    Úhlem nenulových vektorů \(u,v\in V\) rozumíme číslo \(\varphi\), pro které platí

    \[ \cos \varphi = \frac{f(u,v)}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert},\qquad 0\le \varphi \le \pi. \]
  • Nápověda 1 – normy vektorů

    Určete normy vektorů \(a,b\).

    Norma vektoru je dána odmocninou skalárního součinu tohoto vektoru samého se sebou.
  • Nápověda 2 – úhel vektorů

    Určete úhel vektorů \(a,b\).

    Kosinus úhlu dvou nenulových vektorů se rovná jejich skalárnímu součinu dělenému normami těchto vektorů.
  • Odpověď

    Norma vektoru \(a\) je \(5\), norma vektoru \(b\) je \(3\).

    Úhel vektorů \(a,b\) je přibližně \(29^\mathrm{\circ}\, 55^\prime\)

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze