Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Násobení matic III.

Úloha číslo: 1310

Jsou dány matice \(A,B\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_4\). \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \]

Ověřte, zda-li je \(A\cdot B=B \cdot A\).

Jinými slovy, určete, zda je násobení zadaných matic komutativní.

  • Rozbor

    Budeme postupovat podle definice součinu matic.

    Kdykoli máme určit součin dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice v rámci posloupnosti násobení přijatelného typu. V opačném případě není možné matice násobit.

    Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je násobení asociativní a tedy můžeme této vlastnosti využívat. Musíme si ale dát pozor, že násobení matic není obecně komutativní, proto je třeba vždy pečlivě zachovávat posloupnost jednotlivých součinů.

    Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

  • Nápověda 1 – proveditelnost součinu

    Ověřte, zda je možné uvedené matice v dané posloupnosti násobit.

  • Nápověda 2 – součin matic

    Zadané matice nyní dle definice součinu matic vynásobte. Proveďte jak součin \(A\cdot B\), tak součin \(B\cdot A\). Výsledky obou násobení porovnejte.

    Pozor, pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_4\)!

  • Odpověď

    Zjistli jsme, že \[A\cdot B= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 3 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} = B\cdot A. \]

    Násobení matic tedy není obecně komutativní.

  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze