Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice homomorfismu III.

Úloha číslo: 1379

Najděte matici homomorfismu \(g\circ f\) vzhledem k bázím \(M = \big\{(1{,}1,1),(1{,}1,0),(1{,}0,0)\big\}\) a \(N = \big\{(2{,}1),(1{,}1)\big\}\), jestliže

\[ \begin{eqnarray} &f:\,\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^4;&\quad f(x,y,z) = (y,-x+z,y-z,x),\\ &g:\,\mathbb{R}^4 \longrightarrow \mathbb{R}^2;&\quad g(x,y,z,w) = (x+2w,-y+z).\\ \end{eqnarray} \]
  • Rozbor

    Nejprve je třeba nalézt předpis pro složený homomorfismus, podobně jak jsme tomu činili v úloze Homomorfismus II..

    Nalezneme-li předpis, budeme postupovat stejně jako v úlohách

  • Nápověda 1 – předpis složeného homomorfismu

    Nalezněte předpis pro složený homomorfismus.
  • Nápověda 2 – matice složeného homomorfismu

    Postupujte podle definice matice homomorfismu. Tedy nejprve nalezněte obrazy vektorů báze \(M\). Určete souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(N\). Souřadnice zapište správně do matice.

    Pozor, báze jsou uspořádané – nelze tedy vektory libovolně zaměňovat.

  • Odpověď

    Matice složeného homomorfismu \(g\circ f\) vzhledem k bázím \(M,N\) je \[ A= \begin{pmatrix} \phantom{-}3 & 1 & 1\\ -3 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze