Sbírka řešených úloh

Maticový rozbor I.

Úloha číslo: 1424

• Poznámka

  K řešení této úlohy je třeba znát pojmy detailně představené v úlohách

  • Základní pojmy,
  • Vlastní vektory,
  • Maticový polynom,
  • Stopa, determinant a charakteristický polynom,
  • Anulující polynom matice,
  • Minimální polynom,
  • Inverzní matice.

• Nápověda 1 – char. polynom, spektrum, vlastní čísla

  Určete charakteristický polynom, spektrum a vlastní čísla matice \(A\).

  Charakteristický polynom je determinant matice \(\lambda E- A\), vlastní čísla jsou jeho kořeny. Spektrum je soubor vlastních čísel, zohledňující jejich násobnost v charakteristickém polynomu. Podrobněji v úloze Základní pojmy.

• Řešení nápovědy 1 – char. pol., spektrum, vlastní čísla

  Nejprve určíme charakteristický polynom, tedy determinant charakteristické matice \(\lambda E- A\). Pozor, jsme nad \(\mathbb{Z}_5\)! \[ p(\lambda) = \det(\lambda E + 4A)= \begin{vmatrix} \lambda + 3 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda + 3 & 2 \\ 4 & 1 & \lambda + 3 \end{vmatrix}= (\lambda + 3)^3 \] Vlastní čísla jsou kořeny tohoto polynomu. Polynom má trojnásobný kořen \(2\), tj. \[\lambda_1 = 2.\] Spektrum je soubor vlastních čísel, zohledňující násobnost. Dostáváme spektrum \[\big\lbrace 2,{}2,{}2\big\rbrace.\]

• Nápověda 2 – vlastní vektory

  Určete vlastní vektory matice \(A\).

  Vlastní vektor matice \(A\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda\) je nenulový vektor splňující rovnost \(Av^\mathrm{T} = \lambda v^\mathrm{T}\). Více o vlastních vektorech viz úloha Vlastní vektory.

  Z definice vlastního vektoru plyne, že jej lze hledat jako nenulové řešení homogenní soustavy \((\lambda E -A)v^\mathrm{T} = 0\). Viz odvození.

• Řešení nápovědy 2 – vlastní vektory

  Hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_1\). Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy \((\lambda_1 E -A)v^\mathrm{T} = 0\).

  \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \] \[ \hspace{1.8cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1cm} \left[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\right]. \] Dimenze řešení je \(1\). Máme tedy pouze jeden lineárně nezávislý vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_1\) a tím je například vektor \(v = (1{,}1,2)\).

• Nápověda 3 – stopa, determinant

  Určete stopu a determinant matice \(A\).

  Absolutní člen charakteristického polynomu vynásobený \((-1)^{n}\), kde \(n\) je řád matice, určuje determinant. Opačný prvek ke koeficientu u \(\lambda^{n-1}\) určuje stopu.

  V případě úplně rozložitelného charakteristického polynomu matice lze stopu vypočítat i jako součet vlastních čísel, determinant pak jako jejich součin.

  Určení stopy a determinantu matice z charakteristického polynomu je popsáno v úloze Stopa, determinant a charakteristický polynom.

• Řešení nápovědy 3 – stopa, determinant

  Již známe charakteristický polynom matice \(A\). Umocněme jej \[p(\lambda) = (\lambda + 3)^3 = \lambda^3 + 4\lambda^2 + 2\lambda + 2.\] Z významu absolutního členu a členu u druhé nejvyšší mocniny dostáváme pro determinant \[ \begin{eqnarray} (-1)^3 \det A &=& 2 \\ 4 \det A &=& 2 \quad | \cdot 4\\ \det A &=& 3 \end{eqnarray} \] a pro stopu \[ \begin{eqnarray} -\mathrm{tr\,} A &=& 4 \\ 4\,\mathrm{tr\,} A &=& 4 \quad | \cdot 4\\ \mathrm{tr\,} A &=& 1. \end{eqnarray} \] Neboť je charakteristický polynom úplně rozložitelný, lze stopu a determinant vypočítat rychleji užitím spektra matice \(\lbrace 2,{}2,{}2 \rbrace\) \[ \begin{eqnarray} &&\det A = 2\cdot{}2\cdot{}2 = 3,\\ &&\mathrm{tr\,} A = 2+2+2 = 1. \end{eqnarray} \] Správnost výpočtu si můžeme ověřit třetím způsobem. Stopu určíme z definice a determinant Sarrusovým pravidlem. \[ \mathrm{tr\,}A = \sum_{i=1}^3 a_\mathrm{ii} = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 2 + 2 + 2 = 1. \] \[ \det A = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2^3 + 3^2 + 4^2 + 4\,(2 + 4\cdot{}3 \cdot{}2 + 4\cdot{}3 \cdot{}2)= 3. \]

• Nápověda 4 – minimální polynom

  Nalezněte minimální polynom matice \(A\).

  Minimální polynom je normovaný anulující polynom matice \(A\) nejmenšího možného stupně. Jeho hledáním jsme se zabývali v příkladě Minimální polynom.

• Řešení nápovědy 4 – minimální polynom

  Každý ireducibilní polynom, který dělí charakteristický polynom, dělí i polynom minimální, viz věta. Minimální polynom tedy hledejme mezi polynomy \[ \begin{eqnarray} \mu_1(\lambda) &=& (\lambda + 3),\\ \mu_2(\lambda) &=& (\lambda + 3)^2,\\ p(\lambda) &=& (\lambda + 3)^3. \end{eqnarray} \]

  • Je polynom \(\mu_1\) anulujícím polynomem matice \(A\)? Ne, není, neboť \[ \mu_1(A) = (A + 3E) = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \end{pmatrix} \neq O. \]
  • Je polynom \(\mu_2\) anulujícím polynomem matice \(A\)? Ne, není, neboť \[ \mu_2(A) = (A + 3E)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \end{pmatrix}^2= \] \[ =\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 \\ 3 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \neq O. \]

  Polynom \(p(\lambda)\) je tak nejmenším možným anulujícím polynomem matice \(A\), je tedy minimální. To, že je anulující, netřeba ověřovat díky Cayley-Hamiltonově větě. \[m(\lambda) = p(\lambda) = (\lambda + 3)^3\]

• Nápověda 5 – inverzní matice

  Určete inverzní matici k matici \(A\). K výpočtu užijte jejího anulujícího polynomu.

  Tuto metodu jsme již používali v úlohách Inverzní matice a Inverzní matice I.

• Řešení nápovědy 5 – inverzní matice

  Nejmenší anulující polynom matice \(A\) je přímo charakteristický polynom \[ p(\lambda) = (\lambda + 3)^3. \] Neboť je anulující, platí \[ p(A) = (A + 3E)^3 = O. \] Postupnou úpravou dostáváme \[ \begin{eqnarray} (A + 3E)^3 &=& O \\ A^3 + 4A^2 + 2A + 2E &=& O \quad | +3E\\ A^3 + 4A^2 + 2A &=& 3E \quad | \cdot 2\\ 2A^3 + 3A^2 + 4A &=& E \quad | \cdot A^{-1}\\ 2A^2 + 3A + 4E &=& A^{-1}. \end{eqnarray} \] Dosazením získáme hledanou inverzní matici \[ A^{-1}= 2A^2 + 3A + 4E = \] \[ =2 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}^2 +3 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} +4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ =2 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \] \[ =2 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

  ---

  Můžeme si ověřit správnost výpočtu. Ano, matice jsou skutečně inverzní, protože \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =E. \]

• Odpověď

  Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_5\) jsme našli

  • charakteristický polynom \(p(\lambda) = (\lambda + 3)^3\),
  • minimální polynom \(m(\lambda) = (\lambda + 3)^3\),
  • vlastní čísla \(\lambda_1 = 2\),
  • spektrum \(\lbrace 2,{}2,{}2 \rbrace\),
  • vlastní vektor \(v=(1,{}1,{}2)\),
  • inverzní matici \(A^{-1}\)

  \[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]