Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Maticový rozbor I.

Úloha číslo: 1424

Určete charakteristický polynom, spektrum, vlastní čísla, vlastní vektory, stopu, determinant a minimální polynom matice \(A\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_5\). \[ A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \] Pomocí minimálního polynomu dále určete inverzní matici k matici \(A\).
  • Poznámka

  • Nápověda 1 – char. polynom, spektrum, vlastní čísla

    Určete charakteristický polynom, spektrum a vlastní čísla matice \(A\).

    Charakteristický polynom je determinant matice \(\lambda E- A\), vlastní čísla jsou jeho kořeny. Spektrum je soubor vlastních čísel, zohledňující jejich násobnost v charakteristickém polynomu. Podrobněji v úloze Základní pojmy.

  • Nápověda 2 – vlastní vektory

    Určete vlastní vektory matice \(A\).

    Vlastní vektor matice \(A\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda\) je nenulový vektor splňující rovnost \(Av^\mathrm{T} = \lambda v^\mathrm{T}\). Více o vlastních vektorech viz úloha Vlastní vektory.

    Z definice vlastního vektoru plyne, že jej lze hledat jako nenulové řešení homogenní soustavy \((\lambda E -A)v^\mathrm{T} = 0\). Viz odvození.

  • Nápověda 3 – stopa, determinant

    Určete stopu a determinant matice \(A\).

    Absolutní člen charakteristického polynomu vynásobený \((-1)^{n}\), kde \(n\) je řád matice, určuje determinant. Opačný prvek ke koeficientu u \(\lambda^{n-1}\) určuje stopu.

    V případě úplně rozložitelného charakteristického polynomu matice lze stopu vypočítat i jako součet vlastních čísel, determinant pak jako jejich součin.

    Určení stopy a determinantu matice z charakteristického polynomu je popsáno v úloze Stopa, determinant a charakteristický polynom.

  • Nápověda 4 – minimální polynom

    Nalezněte minimální polynom matice \(A\).

    Minimální polynom je normovaný anulující polynom matice \(A\) nejmenšího možného stupně. Jeho hledáním jsme se zabývali v příkladě Minimální polynom.

  • Nápověda 5 – inverzní matice

    Určete inverzní matici k matici \(A\). K výpočtu užijte jejího anulujícího polynomu.

    Tuto metodu jsme již používali v úlohách Inverzní matice a Inverzní matice I.

  • Odpověď

    Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_5\) jsme našli
    • charakteristický polynom \(p(\lambda) = (\lambda + 3)^3\),
    • minimální polynom \(m(\lambda) = (\lambda + 3)^3\),
    • vlastní čísla \(\lambda_1 = 2\),
    • spektrum \(\lbrace 2,{}2,{}2 \rbrace\),
    • vlastní vektor \(v=(1,{}1,{}2)\),
    • inverzní matici \(A^{-1}\)
    \[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze