Binární operace I.

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Úloha číslo: 1316

Rozhodněte, zda je operace \(\circ\) binární operací na \(\mathbb{Z}\). V kladném případě vyšetřete její vlastnosti. Operace \(\circ\) je dána předpisem

\[ a\circ b= 3a+3b. \]

Rozbor
Máme-li učit, zda-li se jedná o binární operaci, pak vycházíme přímo z její definice vyložené v úloze Algebraické struktury a binární operace.

Dle definice je nutné ověřit, zda-li operace každým dvěma prvkům množiny \(M\), na níž je definována, přiřazuje opět prvek této množiny.

Pro zjištění vlastností udané operace bude třeba ověřit, zda jsou splněny jejich podmínky. V případě zkoumání jedné operace to znamená konkrétně
\[ \begin{array}{llrcl} \mathrm{1.} & \mathrm{Asociativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: & (a\,\Box\, b) \,\Box\, c &=&a\,\Box\, (b \,\Box\, c)\\ \mathrm{2.} & \mathrm{Komutativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b \in M: & a\,\Box\, b &=& b\,\Box\, a \\ \mathrm{3.} & \mathrm{Existenci\ neutrálního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \exists n_0 \in M~~\forall a \in M:& a \,\Box\, n_0 &=& a\\ \mathrm{4.} & \mathrm{Existenci\ inverzního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a \in M\setminus \left\{ n_0\right\}~~ \exists a^{-1}: & a\,\Box\, a^{-1}&=&n_0\\ \mathrm{5.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zleva:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = a \,\Box\, c ~~\Rightarrow~~ b&=&c\\ \mathrm{6.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zprava:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = c \,\Box\, b ~~\Rightarrow~~ a&=&c\\ \end{array} \]
Je dobré uvedené vlastnosti vyšetřovat v pořadí, v jakém jsou zde uvedeny, neboť například, pokud neexistuje vzhledem ke zkoumané operaci neutrální prvek, nemá smysl vyšetřovat existenci neutrálních prvků. Dále například, pokud platí komutativní zákon a zákon krácení zprava, pak platí i zákon krácení zleva.
Nápověda 1 – binární operace
Přímo z definice ověřte, zda operace \(\circ\) na \(\mathbb{Z}\) splňuje vlastnosti binární operace.
Řešení nápovědy 1 – binární operace
Vyjdeme přímo z definice. Binární operací na množině \(\mathbb{Z}\) rozumíme zobrazení \[f:\ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}.\]

Stačí tedy ověřit, zda-li operace \(\circ\) každým dvěma prvkům množiny \(\mathbb{Z}\) přiřadí opět její prvek.

Pro \( a,b \in \mathbb{Z}\) zjevně platí
\[\qquad a\circ b = 3a+3b = 3(a+b) \in \mathbb{Z},\]
neboť obor integrity \(\mathbb{Z}\) je uzavřený na sčítání i násobení – součet dvou celých čísel je číslo celé, stejně jako jejich součin.

Zjistili jsme, že \(\circ\) je na množině \(\mathbb{Z}\) binární operací.
Nápověda 2 – asociativní zákon
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.
Řešení nápovědy 2 – asociativní zákon
Víme, že asociativní zákon pro binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad (a\,\Box\, b) \,\Box\, c =a\,\Box\, (b \,\Box\, c). \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) získáváme na levé straně rovnosti
\[(a\circ b)\circ c = (3a+3b)\circ c = 3(3a+3b)+3c=9a+9b+3c,\]
a na straně pravé pak
\[a\circ (b\circ c) = a \circ (3b+ 3c) = 3a+3(3b+3c)=3a+9b+9c.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme,
\[9a+9b+3c \ne 3a+9b+9c\]
že pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Z}\) neplatí asociativní zákon.
Nápověda 3 – komutativní zákon
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.
Řešení nápovědy 3 – komutativní zákon
Víme, že komutativní zákon pro binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b \in M:\qquad a\,\Box\, b =b\,\Box\, a .\]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ b = 3a+3b,\]
a na straně pravé pak
\[b\circ a = 3b+3a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice dostáváme rovnost
\[3a+3b = 3b+3a.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Z}\) platí komutativní zákon.
Nápověda 4 – existence neutrálního prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Z}\) prokažte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností celých čísel.
Řešení nápovědy 4 – existence neutrálního prvku
Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[ \exists n_0 \in M~~\forall a \in M:\qquad a \,\Box\, n_0 = a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ n_0 = 3a+3n_0,\]
a na straně pravé pak
\[a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice a úpravou zjišťujeme
\[ \begin{eqnarray} 3a+3n_0 &=& a \\ 3n_0 &=& -2a \\ n_0 &=& -2\frac{a}{3}. \\ \end{eqnarray} \]
Neutrální prvek není jednoznačně určen – musí existovat právě jediný!
Pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) neexistuje neutrální prvek.
Nápověda 5 – existence inverzních prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Z}\) prokažte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte vlastností celých čísel.

Uvědomte si, že operace \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) nemá neutrální prvek.
Řešení nápovědy 5 – existence inverzních prvků
Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a \in M~~ \exists a^{-1}:\qquad a\,\Box\, a^{-1}=n_0. \]
Vlastnost vyžaduje neutrální prvek \(n_0\). Operace \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) jej ale nemá. Z toho plyne, že pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) neexistují inverzní prvky.
Nápověda 6 – zákon krácení zleva
Platnost zákonu krácení zleva pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.
Řešení nápovědy 6 – zákon krácení zleva
Zákon krácení zprava pro binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad a\,\Box\, b =a\,\Box\, c \Rightarrow b=c. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ b = 3a+3b,\]
a na straně pravé pak
\[a\circ c = 3a + 3c.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice dostáváme
\[3a+3b=3a+3c \quad \Rightarrow \quad b=c. \]
Pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) platí zákon krácení zleva.
Nápověda 7 – zákon krácení zprava
Platnost zákonu krácení zprava pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.
Řešení nápovědy 7 – zákon krácení zprava
Zákon krácení zprava pro binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad a\,\Box\, b =c\,\Box\, b \Rightarrow a=c. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ b = 3a+3b,\]
a na straně pravé pak
\[c\circ b = 3c + 3b.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice dostáváme
\[3a+3b=3c+3b \quad \Rightarrow \quad a=c. \]
Pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Z}\) platí zákon krácení zprava.

Toto prověřování nebylo nutno provádět, neboť zákon krácení zprava automaticky platí, jestliže platí zákon krácení zleva a komutativní zákon.
Odpověď
Operace \(\circ\) je na množině \(\mathbb{Z}\) binární operací. Na množině celých čísel pro ni platí komutativní zákon, zákon krácení zleva a zákon krácení zprava. Asociativní zákon není splněn. Neutrální prvek a inverzní prvky neexistují.