Sbírka řešených úloh

Minimální polynom

Úloha číslo: 1418

• Nápověda

  Charakteristický polynom matice je udán šikovně přímo ve tvaru mocnin ireducibilních (nerozložitelných) polynomů.

  Jak může vypadat minimální polynom, jestliže má být dle věty (ii) dělitelný všemi ireducibilními polynomy, které dělí charakteristický polynom?

• Řešení nápovědy

  \[\color{grey}{p(\lambda) = (\lambda + 3)^3(\lambda-1)^2(\lambda+1)}.\] Charakteristický polynom je dělitelný ireducibilními polynomy \[(\lambda + 3),\ (\lambda-1)\ \mathrm{a}\ (\lambda + 1).\]

  Týmiž polynomy musí být dle věty (ii) dělitelný taktéž minimální polynom.
  Tento požadavek nám dává následující možnosti minimálního polynomu

  \[ \begin{eqnarray} \mu_1(\lambda) &=& (\lambda + 3)\phantom{^1}(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ \mu_2(\lambda) &=& (\lambda + 3)^2(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ \mu_3(\lambda) &=& (\lambda + 3)^2(\lambda-1)^2(\lambda+1),\\ \mu_4(\lambda) &=& (\lambda + 3)^3(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ p(\lambda) = \mu_5(\lambda) &=& (\lambda + 3)^3(\lambda-1)^2(\lambda+1). \end{eqnarray} \]

  Minimální polynom je polynom nejmenšího možného stupně, který je anulující. Neboť charakteristický polynom je anulující vždy, omezuje možný stupeň \(m(\lambda)\).

  Máme tedy 5 polynomů, mezi kterými možno hledat minimální polynom \(m(\lambda)\).

• Poznámka

  Nebude-li žádný z polynomů \(\mu_1\) až \(\mu_4\) anulující, bude hledaným minimálním polynomem přímo charakteristický polynom \(p = \mu_5\), o kterém dle Cayley-Hamiltonovy věty víme, že je vždy anulující.

  Zda-li je příslušný polynom anulujícím polynomem udané matice by se zjišťovalo dosazením matice do polynomu, jak je tomu činěno v úloze Maticový polynom.

• Závěr

  Je-li charakteristický polynom udané matice \[p(\lambda) = (\lambda + 3)^3(\lambda-1)^2(\lambda+1),\] budeme hledat minimální polynom \(m(\lambda) \) mezi polynomy \[ \begin{eqnarray} \mu_1(\lambda) &=& (\lambda + 3)\phantom{^1}(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ \mu_2(\lambda) &=& (\lambda + 3)^2(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ \mu_3(\lambda) &=& (\lambda + 3)^2(\lambda-1)^2(\lambda+1),\\ \mu_4(\lambda) &=& (\lambda + 3)^3(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ p(\lambda) = \mu_5(\lambda) &=& (\lambda + 3)^3(\lambda-1)^2(\lambda+1). \end{eqnarray} \] Minimálním polynomem \(m(\lambda)\) bude ten, který je anulující a nejmenšího stupně.