Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Minimální polynom

Úloha číslo: 1418

Definujme minimální polynom.
(i) Minimální polynom matice

Nechť \(A\) je čtvercová matice nad polem \(T\).

Nenulový polynom \(m(\lambda)\in T\left[\lambda\right]\) se nazývá minimální polynom matice \(A\), jestliže to je anulující polynom matice \(A\), který má nejmenší možný stupeň a je navíc normovaný (u nejvyšší mocniny \(\lambda\) má koeficient \(1\)).

Jak takový minimální polynom hledat? Pomůže nám následující věta.
(ii) Charakteristický a minimální polynom Každý ireducibilní polynom, který dělí charakteristický polynom matice \(A\), dělí i její minimální polynom.

Úkol:

Matice má charakteristický polynom \[p(\lambda) = (\lambda + 3)^3(\lambda-1)^2(\lambda+1).\] Určete množinu polynomů, mezi kterými lze dle (ii) hledat minimální polynom.
  • Nápověda

    Charakteristický polynom matice je udán šikovně přímo ve tvaru mocnin ireducibilních (nerozložitelných) polynomů.

    Jak může vypadat minimální polynom, jestliže má být dle věty (ii) dělitelný všemi ireducibilními polynomy, které dělí charakteristický polynom?

  • Poznámka

    Nebude-li žádný z polynomů \(\mu_1\) až \(\mu_4\) anulující, bude hledaným minimálním polynomem přímo charakteristický polynom \(p = \mu_5\), o kterém dle Cayley-Hamiltonovy věty víme, že je vždy anulující.

    Zda-li je příslušný polynom anulujícím polynomem udané matice by se zjišťovalo dosazením matice do polynomu, jak je tomu činěno v úloze Maticový polynom.

  • Závěr

    Je-li charakteristický polynom udané matice \[p(\lambda) = (\lambda + 3)^3(\lambda-1)^2(\lambda+1),\] budeme hledat minimální polynom \(m(\lambda) \) mezi polynomy \[ \begin{eqnarray} \mu_1(\lambda) &=& (\lambda + 3)\phantom{^1}(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ \mu_2(\lambda) &=& (\lambda + 3)^2(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ \mu_3(\lambda) &=& (\lambda + 3)^2(\lambda-1)^2(\lambda+1),\\ \mu_4(\lambda) &=& (\lambda + 3)^3(\lambda-1)\phantom{^1}(\lambda+1),\\ p(\lambda) = \mu_5(\lambda) &=& (\lambda + 3)^3(\lambda-1)^2(\lambda+1). \end{eqnarray} \] Minimálním polynomem \(m(\lambda)\) bude ten, který je anulující a nejmenšího stupně.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze