Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Skalární součin

Úloha číslo: 1433

Definujme skalární součin.
(i) Skalární součin

Skalárním součinem na reálném prostoru \(V\) rozumíme zobrazení \(f: V\times V \longrightarrow \mathbb{R}\), které má tyto vlastnosti:

\[ \begin{array}{rlrcl} \mathrm{(i)} & \forall y,x \in V & f(x,y)&=&f(y,x), \\ \mathrm{(ii)} & \forall x,y,z \in V & f(x+y,z) &=& f(x,z) + f(y,z),\\ \mathrm{(iii)} & \forall x,y \in V,\ \forall a\in\mathbb{R} & f(ax,b) &=& af(x,y), \\ \mathrm{(iv)} & \forall x \in V,\ x\neq o & f(x,x) &\gt& 0. \end{array} \]

Úkol:

Bilineární forma \(f\) na prostoru \(\mathbb{R}^3\) má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření

\[f(x,y) = x_1y_1+x_2y_2 + x_2y_3 + x_3y_2 + 2x_3y_3.\] a) Ověřte, že \(f\) je skalární součin.
b) Najděte nějakou ortogonální a ortonormální bázi prostoru \(\mathbb{R}^3\).
c) Zjistěte, zda vektory \(x=(1,-3,{}2)\) a \(y=(2,{}1,-1)\) jsou na sebe kolmé.
d) Určete ortogonální doplněk podprostoru \(W = \left[(1,{}2,-1)\right]\) v prostoru \(\mathbb{R}^3\).
  • Poznámka

    K řešení úlohy je třeba znát teorii související s bilineárními formami.

    K definici skalárního součinu:
    Vlastnosti (ii) a (iii) nastavují požadavek na linearitu v první složce. Vlastnost (i) žádá symetrii, tj. linearita první složky se přenáší do složky druhé. Tyto vlastnosti má symetrická bilineární forma. Vlastnost (iv) říká, že forma musí být pozitivně definitní.

    Skalární součin na reálném prostoru je tedy symetrická pozitivně definitní bilineární forma na daném prostoru.

    Takto zavedený skalární součin je oproti „středoškolskému skalárnímu součinu“ mnohem obecnější. Například na množině spojitých funkcí intervalu \(\langle a,b \rangle\) lze uvažovat skalární součin

    \[\big(\,f\,|\,g\,\big) = \int_a^b f(x)\,g(x)\mathrm{d}x.\]

    Obvyklý skalární součin na prostoru \(\mathbb{R}^n\) je forma

    \[ \big(\,x\,|\,y\,\big) = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \] V tomto příkladě je udána zcela jiná bilineární forma \(f\). Naším úkolem bude zjistit, má-li právo nazývati se skalárním součinem.
  • Připomenutí teorie bilineárních forem

    Připomeňme si některé pojmy a vlastnosti, které budeme při řešení potřebovat.

    Maticí bilineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\), která má k téže bázi analytické vyjádření \[ f(x,y) = \sum_{i,j=1}^n x_ia_{ij}y_j = \] \[ \begin{array}{rc} =\quad & a_{11}x_1 y_1 + a_{12}x_1y_2 + \ \cdots\ + a_{1n}x_1y_n + \\ +& a_{21}x_2 y_1 + a_{22}x_2y_2 + \ \cdots\ + a_{2n}x_2y_n + \\ & \vdots \\ +& a_{n1}x_n y_1 + a_{n2}x_n y_2 + \ \cdots\ + a_{nn}x_n y_n, \end{array} \] je matice \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}. \]

    Bilineární forma je symetrická, jestliže \(f(x,y) = f(y,x)\), tj. má-li symetrickou matici.

    Každou symetrickou matici \(A\) lze nad \(T\), kde \(\mathrm{char\,}T\neq 2\), převést na diagonální matici \(D\). Ekvivalentně, ke každé symetrické matici \(A\) existuje regulární matice \(S\), tak, že \(D = SAS^\mathrm{T}\) je diagonální.

    Diagonálnímu tvaru matice bilineární formy říkáme polární tvar. Jestliže má matice na hlavní diagonále nejprve \(1\), poté \(-1\) a nakonec \(0\), pak mluvíme o normálním tvaru. Příslušné báze zveme polární a normální.

    Počet jedniček v normálním tvaru označme \(p\), počet minus jedniček označme \(n\) a počet nul \(d\). Trojici \((p,n,d)\) říkáme signatura bilineární formy.

    Bilineární forma je pozitivně definitní, jestliže má signaturu \((p,0{,}0),\ p\neq 0\).

    Budeme-li při úpravě matice bilineární formy vzhledem ke kanonické bázi na polární (popř. normální) tvar zaznamenávat řádkové úpravy, bude výsledná transformační matice transponovaná matice přechodu od hledané polární (popř. normální) báze ke kanonické bázi. Jinak řečeno, vektory báze budou v řádcích výsledné transformační matice.

    V případě skalárního součinu říkáme polární bázi ortogonální, normální bázi ortonormální.

  • a) Nápověda – je f skalární součin?

    Ověřte, je-li \(f\) pozitivně definitní symetrická bilineární forma.

    Matice symetrické bilineární formy je symetrická. Nalezněte normální tvar formy. Signatura pozitivně definitní formy musí být \((p,0{,}0),\ p\neq 0\).

  • b) Nápověda – ortogonální a ortonormální báze

    Nalezněte nějakou ortogonální a ortonormální bázi.

    Při úpravě na polární (popř. normální) tvar zaznamenávejte řádkové úpravy. Výsledná transformační matice má v řádcích vektory OG (popř. ON) báze.

  • c) Nápověda – kolmost vektorů

    Zjistěte, zda jsou vektory \(x,y\) kolmé.

    (i) Kolmé (ortogonální) vektory

    Nechť \(V\) je prostor se skalárním součinem \(f\).

    Vektory \(u,v\in V\) se nazývají kolmé (ortogonální), je-li \(f(x,y)=0.\)

  • d) Nápověda – ortogonální doplněk

    Určete ortogonální doplněk podprostoru \(W = \left[(1,{}2,-1)\right]\) v prostoru \(\mathbb{R}^3\).

    (ii) Ortogonální doplněk

    Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

    Ortogonálním doplňkem podprostoru \(W\) prostoru \(V\) budeme rozumět množinu všech vektorů z \(V\), které jsou kolmé na všechny vektory z \(W\).

    Symbolicky

    \[W^\perp = \big\lbrace v\in V;\ f(v,w)=0,\ \forall w \in W \big\rbrace.\]
  • Odpověď

    a) Zadaná bilineární forma \(f\) je skalárním součinem na prostoru \(\mathbb{R}^3\).
    b) Báze \(ON=OG = \lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}1,{}0),(0,-1,{}1) \rbrace.\)
    c) Vektory \(x,y\) jsou kolmé.
    d) Ortogonální doplněk \(W^\perp = \big[ (1,-1,{}0), (0,{}0,{}1) \big]\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze