Sbírka řešených úloh

Skalární součin

Úloha číslo: 1433

• Poznámka

  K řešení úlohy je třeba znát teorii související s bilineárními formami.

  K definici skalárního součinu:
  Vlastnosti (ii) a (iii) nastavují požadavek na linearitu v první složce. Vlastnost (i) žádá symetrii, tj. linearita první složky se přenáší do složky druhé. Tyto vlastnosti má symetrická bilineární forma. Vlastnost (iv) říká, že forma musí být pozitivně definitní.

  Skalární součin na reálném prostoru je tedy symetrická pozitivně definitní bilineární forma na daném prostoru.

  Takto zavedený skalární součin je oproti „středoškolskému skalárnímu součinu“ mnohem obecnější. Například na množině spojitých funkcí intervalu \(\langle a,b \rangle\) lze uvažovat skalární součin

  \[\big(\,f\,|\,g\,\big) = \int_a^b f(x)\,g(x)\mathrm{d}x.\]

  Obvyklý skalární součin na prostoru \(\mathbb{R}^n\) je forma

  \[ \big(\,x\,|\,y\,\big) = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \] V tomto příkladě je udána zcela jiná bilineární forma \(f\). Naším úkolem bude zjistit, má-li právo nazývati se skalárním součinem.

• Připomenutí teorie bilineárních forem

  Připomeňme si některé pojmy a vlastnosti, které budeme při řešení potřebovat.

  Maticí bilineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\), která má k téže bázi analytické vyjádření \[ f(x,y) = \sum_{i,j=1}^n x_ia_{ij}y_j = \] \[ \begin{array}{rc} =\quad & a_{11}x_1 y_1 + a_{12}x_1y_2 + \ \cdots\ + a_{1n}x_1y_n + \\ +& a_{21}x_2 y_1 + a_{22}x_2y_2 + \ \cdots\ + a_{2n}x_2y_n + \\ & \vdots \\ +& a_{n1}x_n y_1 + a_{n2}x_n y_2 + \ \cdots\ + a_{nn}x_n y_n, \end{array} \] je matice \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}. \]

  Bilineární forma je symetrická, jestliže \(f(x,y) = f(y,x)\), tj. má-li symetrickou matici.

  Každou symetrickou matici \(A\) lze nad \(T\), kde \(\mathrm{char\,}T\neq 2\), převést na diagonální matici \(D\). Ekvivalentně, ke každé symetrické matici \(A\) existuje regulární matice \(S\), tak, že \(D = SAS^\mathrm{T}\) je diagonální.

  Diagonálnímu tvaru matice bilineární formy říkáme polární tvar. Jestliže má matice na hlavní diagonále nejprve \(1\), poté \(-1\) a nakonec \(0\), pak mluvíme o normálním tvaru. Příslušné báze zveme polární a normální.

  Počet jedniček v normálním tvaru označme \(p\), počet minus jedniček označme \(n\) a počet nul \(d\). Trojici \((p,n,d)\) říkáme signatura bilineární formy.

  Bilineární forma je pozitivně definitní, jestliže má signaturu \((p,0{,}0),\ p\neq 0\).

  Budeme-li při úpravě matice bilineární formy vzhledem ke kanonické bázi na polární (popř. normální) tvar zaznamenávat řádkové úpravy, bude výsledná transformační matice transponovaná matice přechodu od hledané polární (popř. normální) báze ke kanonické bázi. Jinak řečeno, vektory báze budou v řádcích výsledné transformační matice.

  V případě skalárního součinu říkáme polární bázi ortogonální, normální bázi ortonormální.

• a) Nápověda – je f skalární součin?

  Ověřte, je-li \(f\) pozitivně definitní symetrická bilineární forma.

  Matice symetrické bilineární formy je symetrická. Nalezněte normální tvar formy. Signatura pozitivně definitní formy musí být \((p,0{,}0),\ p\neq 0\).

• a) Řešení nápovědy – je f skalární součin?

  Z analytického vyjádření bilineární formy \(f\) sestavíme její matici \[ \color{grey}{f(x,y) = x_1y_1+x_2y_2 + x_2y_3 + x_3y_2 + 2x_3y_3} \] \[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \]

  Matice bilineární formy \(f\) je symetrická. Bilineární forma \(f\) je symetrická.

  Symetrickými úpravami převeďme matici \(A\) na normální tvar

  \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III-II \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

  Symetrická úprava – každá elementární úprava provedená na řádky je provedená i na sloupce. V tomto případě jsme od třetího řádku odečetli druhý, totéž jsme provedli se sloupci.

  Na diagonále jsou tři jedničky, žádné minus jedničky a nuly. Signatura formy \(f\) je tedy \((3,{}0,{}0)\). Forma \(f\) je pozitivně definitní.

  ---

  Bilineární forma \(f\) na prostoru \(\mathbb{R}^3\) je symetrická a pozitivně definitní, je tedy skalárním součinem na prostoru \(\mathbb{R}^3\).

• b) Nápověda – ortogonální a ortonormální báze

  Nalezněte nějakou ortogonální a ortonormální bázi.

  Při úpravě na polární (popř. normální) tvar zaznamenávejte řádkové úpravy. Výsledná transformační matice má v řádcích vektory OG (popř. ON) báze.

• b) Řešení nápovědy – ortogonální a ortonormální báze

  K matici \(A\) „přilepíme“ jednotkovou matici, která bude zaznamenávat řádkové úpravy. \[(A\,|\,E) \sim (D\,|\,S^\mathrm{T}).\]

  Budeme provádět symetrické úpravy, až dostaneme polární tvar matice \(A\), v řádcích pravé matice pak budou vektory OG báze.

  \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \,&\, 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \,&\, 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III-II \end{array} \sim \left(\begin{array}{ccc|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \,&\, 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \,&\, 0 &-1 & 1 \end{array}\right). \]

  Chtěli jsme nejprve získat polární tvar, ale získali jsme přímo tvar normální. To ale nevadí, neboť normální tvar je pouze speciálním případem tvaru polárního.

  Ortonormální báze (ON), která je současně ortogonální (OG), je tedy

  \[ ON = OG = \big\lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}1,{}0),(0,-1,{}1) \big\rbrace. \]

• c) Nápověda – kolmost vektorů

  Zjistěte, zda jsou vektory \(x,y\) kolmé.

  (i) Kolmé (ortogonální) vektory

  Nechť \(V\) je prostor se skalárním součinem \(f\).

  Vektory \(u,v\in V\) se nazývají kolmé (ortogonální), je-li \(f(x,y)=0.\)

• c) Řešení nápovědy – kolmost vektorů

  Proveďme skalární součin \(f\) zadaných vektorů \[\color{grey}{x=(x_1,x_2,x_3)=(1,-3,{}2),\quad y=(y_1,y_2,y_3)=(2,{}1,-1)}\] \[ \begin{eqnarray} f(x,y) &=& x_1y_1 &+& x_2y_2 &+& x_2y_3 &+& x_3y_2 &+& 2x_3y_3 &=&\\ &=& 1{\cdot} 2 &-& 3{\cdot} 1 &+& 3{\cdot} 1 &+& 2{\cdot} 1 &-& 2{}\cdot 2\cdot{}1 &=&\ 0. \end{eqnarray} \]

  Skalární součin vektorů \(x,y\) je nulový. Vektory \(x,y\) jsou tedy ortogonální.

• d) Nápověda – ortogonální doplněk

  Určete ortogonální doplněk podprostoru \(W = \left[(1,{}2,-1)\right]\) v prostoru \(\mathbb{R}^3\).

  (ii) Ortogonální doplněk

  Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

  Ortogonálním doplňkem podprostoru \(W\) prostoru \(V\) budeme rozumět množinu všech vektorů z \(V\), které jsou kolmé na všechny vektory z \(W\).

  Symbolicky

  \[W^\perp = \big\lbrace v\in V;\ f(v,w)=0,\ \forall w \in W \big\rbrace.\]

• d) Řešení nápovědy – ortogonální doplněk

  Nechť ortogonálním doplňkem je množina vektorů \[W^\perp = \lbrace (x_1,x_2,x_3) \rbrace.\] Vektory ortogonální doplňku musí být kolmé na všechny vektory podprostoru \(W\) (postačí na jeho bázi) \[f\big((x_1,x_2,x_3),(1,{}2,-1)\big) = 0.\] \[ \color{grey}{f(x,y) = x_1y_1+x_2y_2 + x_2y_3 + x_3y_2 + 2x_3y_3} \] Provedením skalárního součinu na levé straně dostáváme podmínku \[ x_1 + 2 x_2 - x_2 + 2x_3 - 2x_3 = 0, \] po úpravě \[x_1 + x_2 = 0.\] Maticově \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0. \] Máme tedy homogenní soustavu rovnic o třech neznámých. Dimenze řešení je \(2\). Řešením je vektorový podprostor \[ \big[ (1,-1,{}0), (0,{}0,{}1) \big]. \] Ortogonálním doplňkem prostoru \(W\) v prostoru \(\mathbb{R}^3\) je podprostor \[ W^\perp = \big[ (1,-1,{}0), (0,{}0,{}1) \big]. \]

• Odpověď

  a) Zadaná bilineární forma \(f\) je skalárním součinem na prostoru \(\mathbb{R}^3\).
  b) Báze \(ON=OG = \lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}1,{}0),(0,-1,{}1) \rbrace.\)
  c) Vektory \(x,y\) jsou kolmé.
  d) Ortogonální doplněk \(W^\perp = \big[ (1,-1,{}0), (0,{}0,{}1) \big]\).