Sbírka řešených úloh

Inverzní matice pomocí determinantu III.

Úloha číslo: 1348

• Rozbor

  Máme-li určit inverzní matici k zadané čtvercové matici pomocí determinantu, pak postupujeme stejně jako v úloze Inverzní matice pomocí determinantu.

  Ve stručnosti

  • Vypočítáme \(\det A\) a na základě existence \((\det A)^{-1}\) rozhodneme o invertibilitě matice \(A\) nad zadaným okruhem \(R\). V kladném případě pokračujeme ve výpočtu.
  • Nalezneme determinanty \(A_{ji}\), tedy determinanty matic, které mají vynechaný \(j\)-tý řádek a \(i\)-tý sloupec.
  • Z těchto determinantů správně sestavíme reciprokou matici.
  • Vyjádříme inverzní matici.

  K řešení úlohy je třeba ovládat výpočet determinantů. O výpočtu determinantů pojednává úloha Jak na determinanty.

• Nápověda 1 – výpočet det A

  Vypočtěte determinant matice \(A\). Existuje-li v \(\mathbb{Z}_2\) prvek \((\det A)^{-1}\), určete jej.

  Existence prvku \((\det A)^{-1}\) v \(\mathbb{Z}_2\) znamená invertibilitu matice \(A\).

• Řešení nápovědy 1 – výpočet det A

  Determinant matice \(A\) můžeme vypočítat úpravou na horní trojúhelníkovou matici. Determinant takové matice pak bude roven součinu prvků na hlavní diagonále.

  \[\det{A}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + I\\ III + I\\ \phantom{IV}\\ \end{array} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + II\\ \end{array} = \] \[ = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + III\\ \end{array} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\,\cdot\, 1 \,\cdot\, 1 \,\cdot\, 1 = 1.\]

  Inverzní prvek k \(\det A = 1\) v \(\mathbb{Z}_2\) existuje

  \[(\det A)^{-1} = 1.\]

  Neboť je \(\det A\) na \(\mathbb{Z}_2\) invertibilní, je i matice \(A\) invertibilní. Existuje tedy pro ni nad \(\mathbb{Z}_2\) inverzní matice.

• Nápověda 2 – výpočet dílčích determinantů det A_ji

  K sestavení reciproké matice je třeba determinantů matic \(A_{ji}\), které vzniknou vynecháním \(j\)-tých řádků a \(i\)-tých sloupců. Vypočítejte je.

• Řešení nápovědy 2 – výpočet dílčích determinantů det A_ji

  Vypočítáme determinanty matic \(A_{ji}\), tedy matic vzniklých z matice \(A\) vynecháním \(j\)-tého řádku a \(i\)-tého sloupce. Užijeme Sarrusova pravidla.

  \[\color{grey}{ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} }\] \[ \color{grey}{ \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end{vmatrix} = aei + bfg + dhc - (ceg + bdi + hfa) } \] \[ \begin{eqnarray} \det A_{11}&=& \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{12} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{13} &=& \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{14} &=& \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \\ \det A_{21} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{22} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{23} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{24} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{31} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{32} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ \det A_{33} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ \det A_{34} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{41} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ \det A_{42} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ \det A_{43} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \det A_{44} &=& \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ \end{eqnarray} \]

• Nápověda 3 – sestavení reciproké matice A_REC

  Určete jednotlivé prvky \(a^\star_{ij}\) reciproké matice \(A_\mathrm{REC}\) a sestavte ji.

• Řešení nápovědy 3 – sestavení reciproké matice A_REC

  Prvek \(a^\star_{ij}\) reciproké matice \(A_\mathrm{REC}\) je algebraický doplněk prvku \(a_{ji}\) matice \(A\).

  Vypočítáme jednotlivé prvky reciproké matice, užijeme přitom již vypočítené determinanty matic \(A_{ji}\). \[ \begin{eqnarray} a^\star_{11} &=& (-1)^{1+1} \cdot \det A_{11} = 1 \\ a^\star_{12} &=& (-1)^{1+2} \cdot \det A_{21} = 1 \\ a^\star_{13} &=& (-1)^{1+3} \cdot \det A_{31} = 1 \\ a^\star_{14} &=& (-1)^{1+4} \cdot \det A_{41} = 0 \\ a^\star_{21} &=& (-1)^{2+1} \cdot \det A_{12} = 1 \\ a^\star_{22} &=& (-1)^{2+2} \cdot \det A_{22} = 1 \\ a^\star_{23} &=& (-1)^{2+3} \cdot \det A_{32} = 0 \\ a^\star_{24} &=& (-1)^{2+4} \cdot \det A_{42} = 0 \\ a^\star_{31} &=& (-1)^{3+1} \cdot \det A_{13} = 1 \\ a^\star_{32} &=& (-1)^{3+2} \cdot \det A_{23} = 1 \\ a^\star_{33} &=& (-1)^{3+3} \cdot \det A_{33} = 0 \\ a^\star_{34} &=& (-1)^{3+4} \cdot \det A_{43} = 0 \\ a^\star_{41} &=& (-1)^{4+1} \cdot \det A_{14} = 0 \\ a^\star_{42} &=& (-1)^{4+2} \cdot \det A_{24} = 1 \\ a^\star_{43} &=& (-1)^{4+3} \cdot \det A_{34} = 1 \\ a^\star_{44} &=& (-1)^{4+4} \cdot \det A_{44} = 1 \\ \end{eqnarray} \] Z těchto prvků již reciprokou matici snadno sestavíme. \[ A_\mathrm{REC} = \big(a^\star_{ij}\big) = \begin{pmatrix} a^\star_{11} & a^\star_{12} & a^\star_{13} & a^\star_{14}\\ a^\star_{21} & a^\star_{22} & a^\star_{23} & a^\star_{24}\\ a^\star_{31} & a^\star_{32} & a^\star_{33} & a^\star_{34}\\ a^\star_{41} & a^\star_{42} & a^\star_{43} & a^\star_{44}\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

• Nápověda 4 – vyjádření inverzní matice

  Inverzní matice k matici \(A\) je obecně dána výrazem

  \[A^{-1} = (\det A)^{-1} \cdot A_\mathrm{REC}.\]

  Dopočítejte ji!

• Řešení nápovědy 4 – vyjádření inverzní matice

  S pomocí vypočítaného prvku \((\det A)^{-1}\) a matice \(A_\mathrm{REC}\) dopočítáme inverzní matici \[A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]

• Odpověď

  Inverzní maticí k matici \(A\) nad polem \(\mathbb{Z}_2\) je matice \[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.