Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Vektorový prostor I.

Úloha číslo: 1355

Rozhodněte, zda je množina

\[V = \big\{ p(x);\, p(0) = 3\big\}\]

vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\).


Tj. množina je tvořena všemi polynomy, jejichž hodnota v nule je tři.
  • Nápověda 1 – asociativní zákon

    Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \[\forall\,p_{1{,}2,3}(x) \in V:~ \big(p_1(x)+p_2(x)\big)+p_3(x) = p_1(x) + \big(p_2(x)+p_3(x)\big).\]
  • Nápověda 2 – komutativní zákon

    Prověřte, zda-li platí druhý axiom \[\forall\,p_1(x), p_2(x) \in V:\quad p_1(x)+p_2(x) = p_2(x) + p_1(x).\]
  • Nápověda 3 – existence nulového polynomu

    Prověřte, zda-li platí třetí axiom \[\exists o(x)\in V:~~\forall p(x)\in V: \quad o(x) + p(x) = p(x).\]

    Tj. existuje nějaký nulový polynom \(o\) ve \(V\), takový, že přičtu-li tento nulový polynom k libovolnému polynomu množiny \(V\), získám tentýž polynom?

  • Odpověď

    Množina polynomů

    \[V = \big\{ p(x);\, p(0) = 3\big\}\]

    není vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\), neboť není splněn alespoň jeden z axiomů vektorového prostoru.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze