Sbírka řešených úloh

Vektorový prostor I.

Úloha číslo: 1355

• Nápověda 1 – asociativní zákon

  Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \[\forall\,p_{1{,}2,3}(x) \in V:~ \big(p_1(x)+p_2(x)\big)+p_3(x) = p_1(x) + \big(p_2(x)+p_3(x)\big).\]

• Řešení nápovědy 1 – asociativní zákon

  Polynomy \(p_1(x),\,p_2(x)\) a \(p_3(x) \) lze obecně psát jako \[p_1(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + 3,\] \[p_2(x) = b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + 3,\] \[p_3(x) = c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + 3,\]

  kde \(n\) je stupeň nejvyššího polynomu.

  Levá strana formulky axiomu je tedy

  \[\big[p_1(x) + p_2(x)\big] + p_3(x)=\] \[ = \left[a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + 3 +\right. \] \[\left.+ b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + 3 \right]+ \] \[ + c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + 3 = \]

  Polynom je tvořen součtem násobků mocnin neznámé \(x\). Operace součet uvnitř polynomu je binární operací. Hranaté závorky lze tedy na základě asociativity sčítání uvnitř polynomu „přemístit“.

  \[ = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + 3 + \] \[\left[+ b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + 3 \right.+ \] \[ \left.+ c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + 3 \right] = \] \[=p_1(x) + \big[p_2(x)+p_3(x)\big].\]

  Získali jsme pravou stranu axiomu. Sčítání polynomů je tedy asociativní.

• Nápověda 2 – komutativní zákon

  Prověřte, zda-li platí druhý axiom \[\forall\,p_1(x), p_2(x) \in V:\quad p_1(x)+p_2(x) = p_2(x) + p_1(x).\]

• Řešení nápovědy 2 – komutativní zákon

  Polynomy \(p_1(x),~p_2(x)\) lze obecně psát jako \[p_1(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + 3,\] \[p_2(x) = b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + 3.\]

  Dosaďme tato vyjádření do levé strany formulky axiomu

  \[p_1(x)+p_2(x) =\] \[=a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + 3 +\] \[+ b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + 3=\]

  Polynom je tvořen součtem násobků mocnin neznámé \(x\). Toto sčítání uvnitř polynomu je binární operací a je tedy komutativní. Díky této komutativitě

  \[=b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + 3 + \] \[ +a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + 3= \] \[ =p_2(x) +p_1(x). \]

  Dostali jsme pravou stranu formulky axiomu. Sčítání polynomů je komutativní.

• Nápověda 3 – existence nulového polynomu

  Prověřte, zda-li platí třetí axiom \[\exists o(x)\in V:~~\forall p(x)\in V: \quad o(x) + p(x) = p(x).\]

  Tj. existuje nějaký nulový polynom \(o\) ve \(V\), takový, že přičtu-li tento nulový polynom k libovolnému polynomu množiny \(V\), získám tentýž polynom?

• Řešení nápověda 3 – existence nulového polynomu

  Označme hledaný nulový vektor z množiny \(V\) jako \(\bar{o}(x)\).

  Pro všechny polynomy \(p(x)\) ve \(V\) by mělo platit

  \[\bar{o}(x) + p(x) = p(x).\]

  Aby tato formulka platila pro všechny polynymy z množiny \(V\) muselo by

  \[\bar{o}(x) = 0.\]

  Takový polynom však v množině \(V\) není, neboť \(V = \lbrace p(x);\,p(0) = 3 \rbrace\).
  (Každý polynom má absolutní člen 3)

  Množina \(V\) neobsahuje nulový vektor. Axiom (iii) není splněn. Množina \(V\) tedy netvoří vektorový prostor nad reálnými čísly.

  Platností dalších axiomů netřeba se již zabývat.

• Odpověď

  Množina polynomů

  \[V = \big\{ p(x);\, p(0) = 3\big\}\]

  není vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\), neboť není splněn alespoň jeden z axiomů vektorového prostoru.