Sbírka řešených úloh

Matice přechodu II.

Úloha číslo: 1383

• Průpravná rukojeť

  Na prostoru \(U\) uvažujme složení

  • indentického automorfismu vzhledem k bázím \(N,M\) s maticí \(A\),
  • indentického automorfismu vzhledem k bázím \(M,N\) s maticí \(B\).

  \[ \begin{array}{ccccc} & \bar{1} & & \bar{1} &\\ U & \longleftarrow---- & U & \longleftarrow---- & U\\ ^{M} & \color{maroon}{A} & ^{N} & \color{maroon}{B} & ^{M} \\ \end{array} \]

  Je zřejmé, že složením identických automorfismů je identický automorfismus. Jeho matice bude rovna dle věty o matici složeného homomorfismu součinu \(AB\).

  \[ \overset{\bar{1}}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & \bar{1} & & \bar{1} &\\ U & \longleftarrow---- & U & \longleftarrow---- & U\\ ^{M} & \color{maroon}{A} & ^{N} & \color{maroon}{B} & ^{M} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{AB}}\]

  Výsledkem složení obou automorfismů je identický automorfismus vzhledem k bázi \(M\). Jak vypadá jeho matice? Zobrazíme vektory báze \(M\) v identitě a určíme jejich souřadnice vzhledem k bázi jimi tvořené – to je přeci jednotková matice \(E\)!

  Platí tedy

  \[AB = E.\]

  Jinak řečeno

  • Matice přechodu od jedné báze ke druhé je inverzní k matici přechodu od druhé báze k první.

  V praxi to znamená, že známe-li matici přechodu \(A\) od jedné báze ke druhé, vypočítáme matici přechodu \(B\) od druhé báze k první jako inverzní matici \(A^{-1}\).

  ---

  Uvažujme nyní, že chceme vypočítat matici přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) prostoru \(V\). \[ \begin{array}{ccc} ~&\bar{1}&~\\ V & \longleftarrow---- & V\\ ^{N} & \phantom{A} & ^{M} \\ \end{array} \] Jak jsme zjistili v úloze Matice přechodu I., určit matici přechodu ke kanonické bázi je velmi triviální a tak proč toho nevyužít. Proto si uvedený identický automorfismus napíšeme jako složení dvou identických automorfismů, kde bude figurovat ona kanonická báze. \[ \overset{\bar{1}}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & \bar{1} & & \bar{1} &\\ V & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & V\\ ^{N} & \color{maroon}{A^{-1}} & ^{\mathrm{k.b.}} & \color{maroon}{B} & ^{M} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{A^{-1}B}}\]

  Matice \(B\) je matice přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi. Její určení je velmi snadné.

  Matice \(A^{-1}\) je matice přechodu od kanonické báze k bázi \(N\). Její určení je výpočetně náročné. Proto nejprve snadno určíme matici přechodu \(A\) od báze \(N\) ke kanonické bázi a chtěnou matici \(A^{-1}\) vypočítáme jako k ní iverzní.

  Matice přechodu od \(M\) k \(N\) je pak dle věty o složeném homomorfismu rovna součinu

  \[A^{-1}B.\]

• Rozbor

  Matici přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) určíme takto:

  • Napíšeme matici přechodu \(B\) od báze \(M\) ke kanonické bázi.
  • Napíšeme matici přechodu \(A\) od báze \(N\) ke kanonické bázi.
  • Nalezneme inverzní matici \(A^{-1}\) k matici \(A\).
  • Určíme součin \(A^{-1}B.\)

  „Opačnou“ matici přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) pak určíme jako \((A^{-1}B)^{-1}\).

• Nápověda 1 – určení matic A a B

  Jak vypadá matice přechodu \(B\) od báze \(M\) ke kanonické bázi?

  Jak vypadá matice přechodu \(A\) od báze \(N\) ke kanonické bázi?

• Řešení nápovědy 1 – určení matic A a B

  Matice přechodu \(B\) od báze \(M\) ke kanonické bázi je matice, v jejíž sloupcích jsou po řadě složky báze \(M\), tj.

  \[ B = \begin{pmatrix} 3&2&0 \\ 3&2&4 \\ 0&4&3 \\ \end{pmatrix}. \]

  Matice přechodu \(A\) od báze \(N\) ke kanonické bázi je matice, v jejíž sloupcích jsou po řadě složky báze \(N\), tj.

  \[ A = \begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&1&2 \\ 2&1&4 \\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 2 – určení inverzní matice A^-1

  Určete inverzní matici \(A^{-1}\) k matici \[ A = \begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&1&2 \\ 2&1&4 \\ \end{pmatrix}. \] Jedna z možností nalezení inverzní matice je připomenuta na tomto schématu \[ \left(A\,|\,E\right) \leadsto \left(E\,|\,A^{-1}\right). \] O inverzních maticích pojednává například úloha Inverzní matice.

• Řešení nápovědy 2 – určení inverzní matice A^-1

  Inverzní matici nalezneme například tak, že napravo matice \(A\) napíšeme jednotkovou matici. Na toto „souspřeží“ obou matic provádíme řádkové úpravy, až dostaneme vlevo jednotkovou matici. Vpravo dostaneme inverzní matici \(A^{-1}\).

  \[ \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 2 & 3 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 3I \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 2 & 3 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 3 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 2III + II \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 2 & 3 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I + II\\ II + III\\ \phantom{III} \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 3 & 0 \,&\, 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I + 2II\\ \phantom{II}\\ 2III \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 4 \\ \end{array} \right) \phantom{ \begin{array}{l} I + 2II\\ \phantom{II}\\ 2III \\ \end{array} } \] Hledaná inverzní matice je tedy \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 3 – určení matice přechodu od M k N

  Matice přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) je dána maticovým součinem \(A^{-1}B\).

  Proveďte jej.

• Řešení nápovědy 3 – určení matice přechodu od M k N

  Maticí přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) je matice \[ A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&2&0 \\ 3&2&4 \\ 0&4&3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&2&2 \\ 4&4&4 \\ 2&4&0 \\ \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 4 – určení matice přechodu od N k M

  Pro určení matice přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) by šlo postupovat obdobně jako v případě matice přechodu od \(M\) k \(N\). To by bylo ale zbytečně pracné.

  Uvědomte si, že právě hledaná matice je inverzní k nalezené matici \((A^{-1}B)\).

• Řešení nápovědy 4 – určení matice přechodu od N k M

  Hledaná matice přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) je inverzní k matici přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\), která je dána maticí \((A^{-1}B)\). Vypočítejme tedy \((A^{-1}B)^{-1}\).

  \[ \left( \begin{array}{lll|rrr} 4 & 2 & 2 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 4I\\ III + 2I \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 4 & 2 & 2 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III+II \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 4 & 2 & 2 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I + 3III\\ II + 3III\\ \phantom{III} \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 4 & 2 & 0 \,&\, 4 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} 4I + II\\ 3II \\ \phantom{III} \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \phantom{ \begin{array}{l} 4I + II\\ 3II\\ \phantom{III} \\ \end{array} } \] A matice přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) je \[ (A^{-1}B)^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}. \]

• Odpověď

  Maticí přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) prostoru \(\mathbb{Z}_5^3\) je matice \[ A^{-1}B = \begin{pmatrix} 4&2&2 \\ 4&4&4 \\ 2&4&0 \\ \end{pmatrix}. \] Maticí přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) prostoru \(\mathbb{Z}_5^3\) je matice k ní inverzní \[ (A^{-1}B)^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}. \]