Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice přechodu II.

Úloha číslo: 1383

V této úloze si ukážeme jiný způsob výpočtu matice přechodu, než v předchozích úlohách. Teoretická půda je zahrnuta v průpravné rukojeti.

Úkol:

Najděte matici přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) a matici přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) prostoru \(\mathbb{Z}_5^3\), jestliže

\[ \begin{eqnarray} &N = \big\{(3{,}3,0),(2{,}2,4),(0{,}4,3)\big\},\\ &M = \big\{(1{,}0,2),(2{,}1,1),(3{,}2,4)\big\}.\\ \end{eqnarray} \]
  • Průpravná rukojeť

    Na prostoru \(U\) uvažujme složení

    • indentického automorfismu vzhledem k bázím \(N,M\) s maticí \(A\),
    • indentického automorfismu vzhledem k bázím \(M,N\) s maticí \(B\).
    \[ \begin{array}{ccccc} & \bar{1} & & \bar{1} &\\ U & \longleftarrow---- & U & \longleftarrow---- & U\\ ^{M} & \color{maroon}{A} & ^{N} & \color{maroon}{B} & ^{M} \\ \end{array} \]

    Je zřejmé, že složením identických automorfismů je identický automorfismus. Jeho matice bude rovna dle věty o matici složeného homomorfismu součinu \(AB\).

    \[ \overset{\bar{1}}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & \bar{1} & & \bar{1} &\\ U & \longleftarrow---- & U & \longleftarrow---- & U\\ ^{M} & \color{maroon}{A} & ^{N} & \color{maroon}{B} & ^{M} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{AB}}\]

    Výsledkem složení obou automorfismů je identický automorfismus vzhledem k bázi \(M\). Jak vypadá jeho matice? Zobrazíme vektory báze \(M\) v identitě a určíme jejich souřadnice vzhledem k bázi jimi tvořené – to je přeci jednotková matice \(E\)!

    Platí tedy

    \[AB = E.\]

    Jinak řečeno

    • Matice přechodu od jedné báze ke druhé je inverzní k matici přechodu od druhé báze k první.

    V praxi to znamená, že známe-li matici přechodu \(A\) od jedné báze ke druhé, vypočítáme matici přechodu \(B\) od druhé báze k první jako inverzní matici \(A^{-1}\).


    Uvažujme nyní, že chceme vypočítat matici přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) prostoru \(V\). \[ \begin{array}{ccc} ~&\bar{1}&~\\ V & \longleftarrow---- & V\\ ^{N} & \phantom{A} & ^{M} \\ \end{array} \] Jak jsme zjistili v úloze Matice přechodu I., určit matici přechodu ke kanonické bázi je velmi triviální a tak proč toho nevyužít. Proto si uvedený identický automorfismus napíšeme jako složení dvou identických automorfismů, kde bude figurovat ona kanonická báze. \[ \overset{\bar{1}}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & \bar{1} & & \bar{1} &\\ V & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & V\\ ^{N} & \color{maroon}{A^{-1}} & ^{\mathrm{k.b.}} & \color{maroon}{B} & ^{M} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{A^{-1}B}}\]

    Matice \(B\) je matice přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi. Její určení je velmi snadné.

    Matice \(A^{-1}\) je matice přechodu od kanonické báze k bázi \(N\). Její určení je výpočetně náročné. Proto nejprve snadno určíme matici přechodu \(A\) od báze \(N\) ke kanonické bázi a chtěnou matici \(A^{-1}\) vypočítáme jako k ní iverzní.

    Matice přechodu od \(M\) k \(N\) je pak dle věty o složeném homomorfismu rovna součinu

    \[A^{-1}B.\]
  • Rozbor

    Matici přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) určíme takto:

    • Napíšeme matici přechodu \(B\) od báze \(M\) ke kanonické bázi.
    • Napíšeme matici přechodu \(A\) od báze \(N\) ke kanonické bázi.
    • Nalezneme inverzní matici \(A^{-1}\) k matici \(A\).
    • Určíme součin \(A^{-1}B.\)

    „Opačnou“ matici přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) pak určíme jako \((A^{-1}B)^{-1}\).

  • Nápověda 1 – určení matic A a B

    Jak vypadá matice přechodu \(B\) od báze \(M\) ke kanonické bázi?

    Jak vypadá matice přechodu \(A\) od báze \(N\) ke kanonické bázi?

  • Nápověda 2 – určení inverzní matice A-1

    Určete inverzní matici \(A^{-1}\) k matici \[ A = \begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&1&2 \\ 2&1&4 \\ \end{pmatrix}. \] Jedna z možností nalezení inverzní matice je připomenuta na tomto schématu \[ \left(A\,|\,E\right) \leadsto \left(E\,|\,A^{-1}\right). \] O inverzních maticích pojednává například úloha Inverzní matice.
  • Nápověda 3 – určení matice přechodu od M k N

    Matice přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) je dána maticovým součinem \(A^{-1}B\).

    Proveďte jej.

  • Nápověda 4 – určení matice přechodu od N k M

    Pro určení matice přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) by šlo postupovat obdobně jako v případě matice přechodu od \(M\) k \(N\). To by bylo ale zbytečně pracné.

    Uvědomte si, že právě hledaná matice je inverzní k nalezené matici \((A^{-1}B)\).

  • Odpověď

    Maticí přechodu od báze \(M\) k bázi \(N\) prostoru \(\mathbb{Z}_5^3\) je matice \[ A^{-1}B = \begin{pmatrix} 4&2&2 \\ 4&4&4 \\ 2&4&0 \\ \end{pmatrix}. \] Maticí přechodu od báze \(N\) k bázi \(M\) prostoru \(\mathbb{Z}_5^3\) je matice k ní inverzní \[ (A^{-1}B)^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze