Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice přechodu I.

Úloha číslo: 1382

Najděte matici přechodu prostoru \(\mathbb{Z}_5^4:\)
  • Od kanonické báze k bázi \(M\).
  • Od báze \(M\) ke kanonické bázi.
\[ M = \big\{(4{,}0,2{,}1),(1{,}4,1{,}1),(2{,}4,1{,}0),(3{,}2,1{,}1)\big\} \]
  • Rozbor

    Vypočítáním této úlohy zjistíme, že matice přechodu od jedné matice ke druhé není stejná jako matice přechodu od druhé k první.

    Zjistíme také rozdílnost náročnosti hledání matice přechodu

    • od kanonické báze k dané bázi,
    • od dané báze ke kanonické bázi.

    Při řešení budeme na matice přechodu pohlížet jako na matice indentických automorfismů, tj. budeme počítat obdobně jako v úloze Matice přechodu.

  • Nápověda – matice přechodu od k.b. k M

    Jaké jsou obrazy vektorů kanonické báze, je-li homomorfismus identický automorfismus?

    Vyjádřete tyto obrazy jako lineární kombinace vektorů báze \(M\). Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\)? Zapiště je dle definice do matice.

  • Nápověda – matice přechodu od M ke k.b.

    Jaké jsou obrazy vektorů báze \(M\), je-li homomorfismus identický automorfismus?

    Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi? Zapiště je dle definice do matice.

  • Odpověď

    • Matice přechodu od kanonické báze k bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}. \]
    • Matice přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi je \[ B= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \]

    Zjistili jsme, že výpočet matice přechodu od dané báze ke kanonické bázi je výpočetně mnohem snazší než od kanonické báze k dané bázi.

  • Poznámka

    V případě výpočtu matice přechodu od dané báze ke kanonické bázi jsme totiž neudělali nic jiného, než že jsme napsali vektory dané báze do sloupců matice. Proto se tyto speciální matice přechodu hojně využívají ve složitějších výpočet, kde je jejich časová nenáročnost velkou výhodou.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze