Analytické vyjádření lineární formy I.
Úloha číslo: 1445
Lineární forma \(f\) na prostoru \(\mathbb{Z}^3_7\) vzhledem k bázi \(M=\{ (1{,}2,3), (0{,}3,4), (0{,}1,1) \}\) analytické vyjádření \(f(x)=x_1+4x_2+4x_3\).
Určete její analytické vyjádření vzhledem k bázi \(N=\{(4{,}1,3), (3{,}1,0),(0{,}1,0) \}\).
Rozbor
Analytickým vyjádřením lineární formy \(f\) na prostoru \(V\) dimenze \(n\) vzhledem k jeho bázi \(M=\{ v_1, \cdots , v_n \}\) rozumíme zápis
\[f(x)=x_1f(v_1) + \cdots + x_nf(v_n), \,\, \forall x=(x_1, \cdots ,x_n) \in V\]Přičemž \(\big(f(v_1), \cdots ,f(v_n)\big)\) je maticí lineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\). V podstatě se jedná o matici homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(M\) a {1}. (více o Matice homomorfismu).
Máme-li zadané analytické vyjádření lineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\), máme zadanou i matici \(A\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(M\) a tedy i matici homomorfismu \(f\) od báze \(M\) k bázi {1}. Potřebujeme-li najít matici \(B\) homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(N\) a {1} a tedy matici \(B\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(N\), musíme nejprve najít matici přechodu \(P\) (Matice přechodu) od báze \(N\) k bázi \(M\).
Níže uvedené schéma znázorňuje popisovanou situaci.
\[ \overset{f}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & f & & \bar{1} &\\ T & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & V\\ ^{\{1\}} & \color{maroon}{A} & ^{\mathrm{M}} & \color{maroon}{P} & ^{N} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{B=PA}}\]Určíme-li matici přechodu \(P\) od \(N\) k \(M\), pak vyjádříme požadovanou Matici \(B\) jako součin:
\[B=PA\] \[B= (b_1, \cdots , b_n)\]Z \(B\) již pak snadno vyčteme požadované analytické vyjádření \(f\) vzhledem k \(N\) jako:
\[ f(x)=x_1 b_1 + \cdots x_n b_n ,\,\, \forall x=(x_1, \cdots, x_n)\in V\]Kouzelný vzoreček
Celý postup můžeme shnout pomocí jiného formalismu následovně.
máme:
\[f(x)=A \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M\tag{1}\]chceme:
\[f(x)=B \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\tag{2}\]využijeme přechodu \(P\) od \(N\) k \(M\):
\[ \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M = P \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\tag{3}\]po dosazení (3) do (1) obdržíme:
\[f(x)=A P \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\]ve srovnání s (2) získáváme:
\[B=A P\]Nápověda 1. Matice přechodu
Rozmyslete si, od jaké báze \(\mathbb{Z}^3_7\) ke které potřebujeme matici přechodu (Matice přechodu II.) a následně ji určete.
Pro přehlednost je mnohdy vhodné načrtnout si schéma zadané situace.
Nápověda 3. Analytické vyjádření
Pomocí získané matice přechodu \(P\) a již známe matice lineární formy \(f\) vzhledem k bázi M nyní určete v souladu se zhotoveným schématem matici \(f\) vzhledem k bázi \(N\), z ní následně vyčtěte požadované analytické vyjádření.
Řešení
schéma situace:
\[ \overset{f}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & f & & \bar{1} &\\ \mathbb{Z}_7 & \longleftarrow---- & \mathbb{Z}^3_7 & \longleftarrow---- & \mathbb{Z}^3_7\\ ^{\{1\}} & \color{maroon}{A} & ^{\mathrm{M}} & \color{maroon}{P} & ^{N} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{B=PA}}\]Nejprve určíme matici přechodu \(P\) od \(N\) k bázi \(M\) a to řešením maticového výrazu \((M|N)~\cdots ~(E|P)\), kde vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí.
Pozor, řešíme nad \(\mathbb{Z}_7\)!!!
\[ \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 3 \,&\, 4 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 6 & 3 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II +5I \phantom{II}\\ III + 2I \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 3 \,&\, 4 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 5 & 4 & 6 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + II \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 3 \,&\, 4 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I + 3III\\ II + III\\ \phantom{III} \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 2 & 6 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & 4 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 6 & 4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \\ 5II\\ 6III \phantom{III} \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 2 & 6 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 5 \\ \end{array} \right) \] Hledaná matice přechodu P je tedy: \[ P = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 6 \\ 6 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}. \]Matici \(B\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(N\) získáme jako součin:
\[B=AP\]kde \(A\) vyčteme přímo z analytického vyjádření \(f\) vzhledem k \(M\) jako:
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \end{pmatrix}\] \[B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 6 & 6 \\ 6 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \]požadované vyjádření \(f\) vzhledem k \(N\) je tedy:
\[f(x)=3x_1+6x_2+2x_3,\,\, \forall x \in \mathbb{Z}^3_7\]Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!
Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).
Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.
