Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Analytické vyjádření lineární formy I.

Úloha číslo: 1445

Lineární forma \(f\) na prostoru \(\mathbb{Z}^3_7\) vzhledem k bázi \(M=\{ (1{,}2,3), (0{,}3,4), (0{,}1,1) \}\) analytické vyjádření \(f(x)=x_1+4x_2+4x_3\).

Určete její analytické vyjádření vzhledem k bázi \(N=\{(4{,}1,3), (3{,}1,0),(0{,}1,0) \}\).

  • Rozbor

    Analytickým vyjádřením lineární formy \(f\) na prostoru \(V\) dimenze \(n\) vzhledem k jeho bázi \(M=\{ v_1, \cdots , v_n \}\) rozumíme zápis

    \[f(x)=x_1f(v_1) + \cdots + x_nf(v_n), \,\, \forall x=(x_1, \cdots ,x_n) \in V\]

    Přičemž \(\big(f(v_1), \cdots ,f(v_n)\big)\) je maticí lineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\). V podstatě se jedná o matici homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(M\) a {1}. (více o Matice homomorfismu).

    Máme-li zadané analytické vyjádření lineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(M\), máme zadanou i matici \(A\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(M\) a tedy i matici homomorfismu \(f\) od báze \(M\) k bázi {1}. Potřebujeme-li najít matici \(B\) homomorfismu \(f\) vzhledem k bázím \(N\) a {1} a tedy matici \(B\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(N\), musíme nejprve najít matici přechodu \(P\) (Matice přechodu) od báze \(N\) k bázi \(M\).

    Níže uvedené schéma znázorňuje popisovanou situaci.

    \[ \overset{f}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & f & & \bar{1} &\\ T & \longleftarrow---- & V & \longleftarrow---- & V\\ ^{\{1\}} & \color{maroon}{A} & ^{\mathrm{M}} & \color{maroon}{P} & ^{N} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{B=PA}}\]

    Určíme-li matici přechodu \(P\) od \(N\) k \(M\), pak vyjádříme požadovanou Matici \(B\) jako součin:

    \[B=PA\] \[B= (b_1, \cdots , b_n)\]

    Z \(B\) již pak snadno vyčteme požadované analytické vyjádření \(f\) vzhledem k \(N\) jako:

    \[ f(x)=x_1 b_1 + \cdots x_n b_n ,\,\, \forall x=(x_1, \cdots, x_n)\in V\]

    Kouzelný vzoreček

    Celý postup můžeme shnout pomocí jiného formalismu následovně.

    máme:

    \[f(x)=A \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M\tag{1}\]

    chceme:

    \[f(x)=B \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\tag{2}\]

    využijeme přechodu \(P\) od \(N\) k \(M\):

    \[ \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_M = P \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\tag{3}\]

    po dosazení (3) do (1) obdržíme:

    \[f(x)=A P \langle x \rangle^{\mathrm{T}}_N\]

    ve srovnání s (2) získáváme:

    \[B=A P\]
  • Nápověda 1. Matice přechodu

    Rozmyslete si, od jaké báze \(\mathbb{Z}^3_7\) ke které potřebujeme matici přechodu (Matice přechodu II.) a následně ji určete.

    Pro přehlednost je mnohdy vhodné načrtnout si schéma zadané situace.

  • Nápověda 3. Analytické vyjádření

    Pomocí získané matice přechodu \(P\) a již známe matice lineární formy \(f\) vzhledem k bázi M nyní určete v souladu se zhotoveným schématem matici \(f\) vzhledem k bázi \(N\), z ní následně vyčtěte požadované analytické vyjádření.

  • Řešení

    schéma situace:

    \[ \overset{f}{\longleftarrow---------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} & f & & \bar{1} &\\ \mathbb{Z}_7 & \longleftarrow---- & \mathbb{Z}^3_7 & \longleftarrow---- & \mathbb{Z}^3_7\\ ^{\{1\}} & \color{maroon}{A} & ^{\mathrm{M}} & \color{maroon}{P} & ^{N} \\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{\color{maroon}{B=PA}}\]

    Nejprve určíme matici přechodu \(P\) od \(N\) k bázi \(M\) a to řešením maticového výrazu \((M|N)~\cdots ~(E|P)\), kde vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí.

    Pozor, řešíme nad \(\mathbb{Z}_7\)!!!

    \[ \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 3 \,&\, 4 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 6 & 3 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II +5I \phantom{II}\\ III + 2I \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 3 \,&\, 4 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 5 & 4 & 6 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + II \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 3 \,&\, 4 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I + 3III\\ II + III\\ \phantom{III} \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 2 & 6 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & 4 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 6 & 4 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \\ 5II\\ 6III \phantom{III} \\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 2 & 6 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 6 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 5 \\ \end{array} \right) \] Hledaná matice přechodu P je tedy: \[ P = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 6 \\ 6 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}. \]

    Matici \(B\) lineární formy \(f\) vzhledem k \(N\) získáme jako součin:

    \[B=AP\]

    kde \(A\) vyčteme přímo z analytického vyjádření \(f\) vzhledem k \(M\) jako:

    \[A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \end{pmatrix}\] \[B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 6 & 6 \\ 6 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \]

    požadované vyjádření \(f\) vzhledem k \(N\) je tedy:

    \[f(x)=3x_1+6x_2+2x_3,\,\, \forall x \in \mathbb{Z}^3_7\]
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze