Binární operace III.

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Úloha číslo: 1318

Rozhodněte, zda je operace \(\circ\) binární operací na \(\mathbb{Q}\). V kladném případě vyšetřete její vlastnosti. Operace \(\circ\) je dána předpisem

\[ a\circ b= a-b+\frac{2}{3}. \]

Rozbor
Máme-li učit, zda-li se jedná o binární operaci, pak vycházíme přímo z její definice vyložené v úloze Algebraické struktury a binární operace.

Dle definice je nutné ověřit, zda-li operace každým dvěma prvkům množiny \(M\), na níž je definována, přiřazuje opět prvek této množiny.

Pro zjištění vlastností udané operace bude třeba ověřit, zda jsou splněny jejich podmínky. V případě zkoumání jedné operace to znamená konkrétně
\[ \begin{array}{llrcl} \mathrm{1.} & \mathrm{Asociativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: & (a\,\Box\, b) \,\Box\, c &=&a\,\Box\, (b \,\Box\, c)\\ \mathrm{2.} & \mathrm{Komutativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b \in M: & a\,\Box\, b &=& b\,\Box\, a \\ \mathrm{3.} & \mathrm{Existenci\ neutrálního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \exists n_0 \in M~~\forall a \in M:& a \,\Box\, n_0 &=& a\\ \mathrm{4.} & \mathrm{Existenci\ inverzního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a \in M\setminus \left\{ n_0\right\}~~ \exists a^{-1}: & a\,\Box\, a^{-1}&=&n_0\\ \mathrm{5.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zleva:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = a \,\Box\, c ~~\Rightarrow~~ b&=&c\\ \mathrm{6.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zprava:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = c \,\Box\, b ~~\Rightarrow~~ a&=&c\\ \end{array} \]
Je dobré uvedené vlastnosti vyšetřovat v pořadí, v jakém jsou zde uvedeny, neboť například, pokud neexistuje vzhledem ke zkoumané operaci neutrální prvek, nemá smysl vyšetřovat existenci neutrálních prvků. Dále například, pokud platí komutativní zákon a zákon krácení zprava, pak platí i zákon krácení zleva.
Nápověda 1 – binární operace
Přímo z definice ověřte, zda operace \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) splňuje vlastnosti binární operace.
Řešení nápovědy 1 – binární operace
Vyjdeme přímo z definice. Binární operací na množině \(\mathbb{Q}\) rozumíme zobrazení \[f:\ \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}.\]

Stačí tedy ověřit, zda-li operace \(\circ\) každým dvěma prvkům množiny \(\mathbb{Q}\) přiřadí opět její prvek.

Aby byla operace binární, muselo by pro libovolné \( a,b \in \mathbb{Q}\) platit
\[a\circ b = a-b+\frac{2}{3} ~\overset{?}{\in}~ \mathbb{Q}.\]
Z vlastností \(\mathbb{Q}\) víme, že součet dvou racionálních čísel je opět číslo racionální.

Množina je na operaci uzavřená. Operace \(\circ\) je tedy na \(\mathbb{Q}\) binární operací.
Nápověda 2 – asociativní zákon
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.
Řešení nápovědy 2 – asociativní zákon
Víme, že asociativní zákon pro binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad \left(a\,\Box\, b\right) \,\Box\, c =a\,\Box\, \left(b \,\Box\, c\right). \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) získáváme na levé straně rovnosti
\[\left(a\circ b\right)\circ c = \left(a-b+\frac{2}{3}\right)\circ c = \left(a-b+\frac{2}{3}\right)-c+\frac{2}{3}=a-b-c+\frac{4}{3},\]
a na straně pravé pak
\[a\circ \left(b\circ c\right) = a \circ \left(b-c+\frac{2}{3}\right) = a-\left(b-c+\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}=a-b+c.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a-b-c+\frac{4}{3} \ne a-b+c.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) asociativní zákon neplatí.
Nápověda 3 – komutativní zákon
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.
Řešení nápovědy 3 – komutativní zákon
Víme, že komutativní zákon pro binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b \in M:\qquad a\,\Box\, b =b\,\Box\, a .\]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ b = a-b+\frac{2}{3},\]
a na straně pravé pak
\[b\circ a = b-a+\frac{2}{3}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a-b+\frac{2}{3} \ne b-a+\frac{2}{3}.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) komutativní zákon neplatí.
Nápověda 4 – existence neutrálního prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) prokažte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností racionálních čísel.
Řešení nápovědy 4 – existence neutrálního prvku
Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[ \exists n_0 \in M~~ \forall a \in M:\qquad a \,\Box\, n_0 = a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ n_0 = a-n_0+\frac{2}{3},\]
a na straně pravé pak
\[a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a-n_0+\frac{2}{3}= a \quad \Rightarrow \quad n_0=\frac{2}{3}.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) existuje jednoznačně určený neutrální prvek, je jím prvek \(n_0 = \frac{2}{3}\).
Nápověda 5 – existence inverzních prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) prokažte/vyvraťte přímým dosazením do znění vlastnosti a dále pak využijte vlastností racionálních čísel.
Řešení nápovědy 5 – existence inverzních prvků
Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a \in M~~ \exists a^{-1}:\qquad a\,\Box\, a^{-1}=n_0. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ a^{-1} = a-a^{-1}+\frac{2}{3},\]
a na straně pravé pak
\[n_0=\frac{2}{3}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a-a^{-1}+\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a^{-1}=a.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) vždy existuje k danému prvku
\(a\) inverzní prvek \(a^{-1}\) a je jednoznačně určen jako \(a^{-1}=a\).

Operace \(\circ\) má na množině \(\mathbb{Q}\) inverzní prvky.
Nápověda 6 – zákon krácení zleva
Platnost zákonu krácení zleva pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.
Řešení nápovědy 6 – zákon krácení zleva
Zákon krácení zprava pro binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad a\,\Box\, b =a\,\Box\, c \Rightarrow b=c. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ b = a-b+\frac{2}{3},\]
a na straně pravé pak
\[a\circ c = a - c + \frac{2}{3}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a-b+\frac{2}{3}=a - c + \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad b=c. \]
Pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) platí zákon krácení zleva.
Nápověda 7 – zákon krácení zprava
Platnost zákonu krácení zprava pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.
Řešení nápovědy 7 – zákon krácení zprava
Zákon krácení zprava pro binární operaci \(\,\Box\,\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad a\,\Box\, b =c\,\Box\, b \Rightarrow a=c. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\circ\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\circ b = a-b+\frac{2}{3},\]
a na straně pravé pak
\[a-b+\frac{2}{3} = c-b+\frac{2}{3}.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[3a+3b=c-b+\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a=c. \]
Pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) platí zákon krácení zprava.

Toto prověřování bylo nutno provést, neboť neplatí komutativní zákon.
Odpověď
Operace \(\circ\) je na \(\mathbb{Q}\) binární operací. Na množině racionálních čísel pro ni neplatí asociativní a komutativní zákon, ale platí zákony krácení zleva a zprava. Neutrální prvek existuje, je jím \(n_0 = \frac{2}{3}\). Inverzní prvky také existují a jsou jednoznačně určeny předpisem \(a^{-1}=a\).