Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Binární operace III.

Úloha číslo: 1318

Rozhodněte, zda je operace \(\circ\) binární operací na \(\mathbb{Q}\). V kladném případě vyšetřete její vlastnosti. Operace \(\circ\) je dána předpisem

\[ a\circ b= a-b+\frac{2}{3}. \]
  • Rozbor

    Máme-li učit, zda-li se jedná o binární operaci, pak vycházíme přímo z její definice vyložené v úloze Algebraické struktury a binární operace.

    Dle definice je nutné ověřit, zda-li operace každým dvěma prvkům množiny \(M\), na níž je definována, přiřazuje opět prvek této množiny.

    Pro zjištění vlastností udané operace bude třeba ověřit, zda jsou splněny jejich podmínky. V případě zkoumání jedné operace to znamená konkrétně

    \[ \begin{array}{llrcl} \mathrm{1.} & \mathrm{Asociativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: & (a\,\Box\, b) \,\Box\, c &=&a\,\Box\, (b \,\Box\, c)\\ \mathrm{2.} & \mathrm{Komutativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b \in M: & a\,\Box\, b &=& b\,\Box\, a \\ \mathrm{3.} & \mathrm{Existenci\ neutrálního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \exists n_0 \in M~~\forall a \in M:& a \,\Box\, n_0 &=& a\\ \mathrm{4.} & \mathrm{Existenci\ inverzního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a \in M\setminus \left\{ n_0\right\}~~ \exists a^{-1}: & a\,\Box\, a^{-1}&=&n_0\\ \mathrm{5.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zleva:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = a \,\Box\, c ~~\Rightarrow~~ b&=&c\\ \mathrm{6.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zprava:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = c \,\Box\, b ~~\Rightarrow~~ a&=&c\\ \end{array} \]

    Je dobré uvedené vlastnosti vyšetřovat v pořadí, v jakém jsou zde uvedeny, neboť například, pokud neexistuje vzhledem ke zkoumané operaci neutrální prvek, nemá smysl vyšetřovat existenci neutrálních prvků. Dále například, pokud platí komutativní zákon a zákon krácení zprava, pak platí i zákon krácení zleva.

  • Nápověda 1 – binární operace

    Přímo z definice ověřte, zda operace \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) splňuje vlastnosti binární operace.

  • Nápověda 2 – asociativní zákon

    Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.

  • Nápověda 3 – komutativní zákon

    Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.

  • Nápověda 4 – existence neutrálního prvku

    Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) prokažte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností racionálních čísel.

  • Nápověda 5 – existence inverzních prvků

    Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\circ\) na \(\mathbb{Q}\) prokažte/vyvraťte přímým dosazením do znění vlastnosti a dále pak využijte vlastností racionálních čísel.

  • Nápověda 6 – zákon krácení zleva

    Platnost zákonu krácení zleva pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.

  • Nápověda 7 – zákon krácení zprava

    Platnost zákonu krácení zprava pro binární operaci \(\circ\) na množině \(\mathbb{Q}\) ověřte přímým dosazením do jeho znění.

  • Odpověď

    Operace \(\circ\) je na \(\mathbb{Q}\) binární operací. Na množině racionálních čísel pro ni neplatí asociativní a komutativní zákon, ale platí zákony krácení zleva a zprava. Neutrální prvek existuje, je jím \(n_0 = \frac{2}{3}\). Inverzní prvky také existují a jsou jednoznačně určeny předpisem \(a^{-1}=a\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze