Binární operace III.

Rozbor

Máme-li učit, zda-li se jedná o binární operaci, pak vycházíme přímo z její definice vyložené v úloze Algebraické struktury a binární operace.

Dle definice je nutné ověřit, zda-li operace každým dvěma prvkům množiny $M$ , na níž je definována, přiřazuje opět prvek této množiny.

Pro zjištění vlastností udané operace bude třeba ověřit, zda jsou splněny jejich podmínky. V případě zkoumání jedné operace to znamená konkrétně

$\begin{array}{llrcl} \mathrm{1.} & \mathrm{Asociativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: & (a\,\Box\, b) \,\Box\, c &=&a\,\Box\, (b \,\Box\, c)\\ \mathrm{2.} & \mathrm{Komutativní\ zákon:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b \in M: & a\,\Box\, b &=& b\,\Box\, a \\ \mathrm{3.} & \mathrm{Existenci\ neutrálního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \exists n_0 \in M~~\forall a \in M:& a \,\Box\, n_0 &=& a\\ \mathrm{4.} & \mathrm{Existenci\ inverzního\ prvku:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a \in M\setminus \left\{ n_0\right\}~~ \exists a^{-1}: & a\,\Box\, a^{-1}&=&n_0\\ \mathrm{5.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zleva:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = a \,\Box\, c ~~\Rightarrow~~ b&=&c\\ \mathrm{6.} & \mathrm{Zákon\ krácení\ zprava:}&&\\ &\hspace{6em} \forall a,b,c \in M: &\hspace{-4em} a\,\Box\, b = c \,\Box\, b ~~\Rightarrow~~ a&=&c\\ \end{array}$

Je dobré uvedené vlastnosti vyšetřovat v pořadí, v jakém jsou zde uvedeny, neboť například, pokud neexistuje vzhledem ke zkoumané operaci neutrální prvek, nemá smysl vyšetřovat existenci neutrálních prvků. Dále například, pokud platí komutativní zákon a zákon krácení zprava, pak platí i zákon krácení zleva.

Nápověda 1 – binární operace

Přímo z definice ověřte, zda operace $\circ$ na $\mathbb{Q}$ splňuje vlastnosti binární operace.

Řešení nápovědy 1 – binární operace

Vyjdeme přímo z definice. Binární operací na množině $\mathbb{Q}$ rozumíme zobrazení $f:\ \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}.$

Stačí tedy ověřit, zda-li operace $\circ$ každým dvěma prvkům množiny $\mathbb{Q}$ přiřadí opět její prvek.

Aby byla operace binární, muselo by pro libovolné $a,b \in \mathbb{Q}$ platit

$a\circ b = a-b+\frac{2}{3} ~\overset{?}{\in}~ \mathbb{Q}.$

Z vlastností $\mathbb{Q}$ víme, že součet dvou racionálních čísel je opět číslo racionální.

Množina je na operaci uzavřená. Operace $\circ$ je tedy na $\mathbb{Q}$ binární operací.

Nápověda 2 – asociativní zákon

Platnost asociativního zákonu pro binární operaci $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ ověřte přímým dosazením do jeho znění.

Řešení nápovědy 2 – asociativní zákon

Víme, že asociativní zákon pro binární operaci $\,\Box\,$ na obecné množině $M$ zní

$\forall a,b,c \in M:\qquad \left(a\,\Box\, b\right) \,\Box\, c =a\,\Box\, \left(b \,\Box\, c\right).$

Po dosazení naší konkrétní operace $\circ$ získáváme na levé straně rovnosti

$\left(a\circ b\right)\circ c = \left(a-b+\frac{2}{3}\right)\circ c = \left(a-b+\frac{2}{3}\right)-c+\frac{2}{3}=a-b-c+\frac{4}{3},$

a na straně pravé pak

$a\circ \left(b\circ c\right) = a \circ \left(b-c+\frac{2}{3}\right) = a-\left(b-c+\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}=a-b+c.$

Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

$a-b-c+\frac{4}{3} \ne a-b+c.$

Z toho plyne, že pro binární operaci $\circ$ na $\mathbb{Q}$ asociativní zákon neplatí.

Nápověda 3 – komutativní zákon

Platnost komutativního zákonu pro binární operaci $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ ověřte přímým dosazením do jeho znění.

Řešení nápovědy 3 – komutativní zákon

Víme, že komutativní zákon pro binární operaci $\,\Box\,$ na obecné množině $M$ zní

$\forall a,b \in M:\qquad a\,\Box\, b =b\,\Box\, a .$

Po dosazení naší konkrétní operace $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ získáváme na levé straně rovnosti

$a\circ b = a-b+\frac{2}{3},$

a na straně pravé pak

$b\circ a = b-a+\frac{2}{3}.$

Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

$a-b+\frac{2}{3} \ne b-a+\frac{2}{3}.$

Z toho plyne, že pro binární operaci $\circ$ na $\mathbb{Q}$ komutativní zákon neplatí.

Nápověda 4 – existence neutrálního prvku

Existenci neutrálního prvku pro binární operaci $\circ$ na $\mathbb{Q}$ prokažte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností racionálních čísel.

Řešení nápovědy 4 – existence neutrálního prvku

Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci $\,\Box\,$ na obecné množině $M$ zní

$\exists n_0 \in M~~ \forall a \in M:\qquad a \,\Box\, n_0 = a.$

Po dosazení naší konkrétní operace $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ získáváme na levé straně rovnosti

$a\circ n_0 = a-n_0+\frac{2}{3},$

a na straně pravé pak

$a.$

Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

$a-n_0+\frac{2}{3}= a \quad \Rightarrow \quad n_0=\frac{2}{3}.$

Z toho plyne, že pro binární operaci $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ existuje jednoznačně určený neutrální prvek, je jím prvek $n_0 = \frac{2}{3}$ .

Nápověda 5 – existence inverzních prvků

Existenci inverzních prvků pro binární operaci $\circ$ na $\mathbb{Q}$ prokažte/vyvraťte přímým dosazením do znění vlastnosti a dále pak využijte vlastností racionálních čísel.

Řešení nápovědy 5 – existence inverzních prvků

Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci $\,\Box\,$ na obecné množině $M$ zní

$\forall a \in M~~ \exists a^{-1}:\qquad a\,\Box\, a^{-1}=n_0.$

Po dosazení naší konkrétní operace $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ získáváme na levé straně rovnosti

$a\circ a^{-1} = a-a^{-1}+\frac{2}{3},$

a na straně pravé pak

$n_0=\frac{2}{3}.$

Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

$a-a^{-1}+\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a^{-1}=a.$

Z toho plyne, že pro binární operaci $\circ$ na $\mathbb{Q}$ vždy existuje k danému prvku
$a$ inverzní prvek $a^{-1}$ a je jednoznačně určen jako $a^{-1}=a$ .

Operace $\circ$ má na množině $\mathbb{Q}$ inverzní prvky.

Nápověda 6 – zákon krácení zleva

Platnost zákonu krácení zleva pro binární operaci $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ ověřte přímým dosazením do jeho znění.

Řešení nápovědy 6 – zákon krácení zleva

Zákon krácení zprava pro binární operaci $\,\Box\,$ na obecné množině $M$ zní

$\forall a,b,c \in M:\qquad a\,\Box\, b =a\,\Box\, c \Rightarrow b=c.$

Po dosazení naší konkrétní operace $\circ$ získáváme na levé straně rovnosti

$a\circ b = a-b+\frac{2}{3},$

a na straně pravé pak

$a\circ c = a - c + \frac{2}{3}.$

Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

$a-b+\frac{2}{3}=a - c + \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad b=c.$

Pro binární operaci $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ platí zákon krácení zleva.

Nápověda 7 – zákon krácení zprava

Platnost zákonu krácení zprava pro binární operaci $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ ověřte přímým dosazením do jeho znění.

Řešení nápovědy 7 – zákon krácení zprava

Zákon krácení zprava pro binární operaci $\,\Box\,$ na obecné množině $M$ zní

$\forall a,b,c \in M:\qquad a\,\Box\, b =c\,\Box\, b \Rightarrow a=c.$

Po dosazení naší konkrétní operace $\circ$ získáváme na levé straně rovnosti

$a\circ b = a-b+\frac{2}{3},$

a na straně pravé pak

$a-b+\frac{2}{3} = c-b+\frac{2}{3}.$

Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

$3a+3b=c-b+\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a=c.$

Pro binární operaci $\circ$ na množině $\mathbb{Q}$ platí zákon krácení zprava.

Toto prověřování bylo nutno provést, neboť neplatí komutativní zákon.

Odpověď

Operace $\circ$ je na $\mathbb{Q}$ binární operací. Na množině racionálních čísel pro ni neplatí asociativní a komutativní zákon, ale platí zákony krácení zleva a zprava. Neutrální prvek existuje, je jím $n_0 = \frac{2}{3}$ . Inverzní prvky také existují a jsou jednoznačně určeny předpisem $a^{-1}=a$ .