Duální báze IV.
Úloha číslo: 1456
Je dána báze \(M^*=\{f_1,f_2,f_3 \}\) duální k bázi \(M\) na prostoru \(\mathbb{Z}^3_7\).
Určete bázi \(M\), jestliže formy \(f_1, f_2,f_3\) jsou zadány vzhledem k bázi \(N=\{(1{,}6,4),(2{,}0,3),(5{,}1,3) \}\) následovně:
\[f_1(x)=3x_1+2x_3\] \[f_2(x)=5x_1+1x_2+6x_3\] \[f_3(x)=1x_1+2x_2+1x_3\]Pozor, počítáme nad \(\mathbb{Z}^3_7\)!!!
Rozbor
Před zahájením výpočtu je vhodné zopakovat si následující teorii:
Co je vlastně úkolem?
Úkolem je vyjádřit bázi \(M\), k níž je báze \(M^*\) duální vzhledem k bázi \(N\), vůči níž jsou zadány formy tvořící bázi \(M^*\).
Následující postup uplatňujeme v případě obecnějšího zadání vektorů báze \(M^*\) vzhledem k obecné bázi \(N\) prostoru, nad kterým počítáme.
Postup
Známe-li vyjádření forem báze \(M^*\) vzhledem k bázi \(N\) a máme-li určit z těchto údajů bázi \(M\) k níž je \(M^*\) duální, postupujme následovně:
Nejprve určeme vektory báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi prostoru.
Kde využijeme platnost \(M^* \cdot M = E\) a hledání duální báze tak převedeme v řešení maticového výrazu:
\[(\langle M^*\rangle_N|E) \sim \cdots \sim (\langle M\rangle_{k.b.}|E)\]kde zadáme-li vektory \( \langle M^*\rangle_N \) v řádcích, pak obdržíme vektory \( \langle M \rangle_{k.b.} \) v sloupcích maticového výrazu a naopak.
Pomocí matice přechodu \(P\) od báze \(N\) ke kanonické bázi vyjádřeme souřadnice získaných vektorů báze \(M\) vzhledem k bázi \(N\).
Řešením maticového výrazu \((E|N) \sim (E|P)\) určeme matici přechodu \(P\) od \(k.b.\) k \(N\).
Vektory bází píšeme do sloupců matic, \(E\) rozumíme jednotkovou maticí a \(P\) hledanou maticí přechodu.
Matici \(M\) pak získáme jako:
\[\langle M \rangle_N=P \langle M\rangle_{k.b.}\]kdy vektory hledané báze \(M\) budou obsaženy v sloupcích matice \(\langle M \rangle_N\).
Nápověda 1. - Využití duality bází
S využitím duality bází vyjádřete \( \langle M\rangle_{k.b.} \).
Nápověda 2. - Matice přechodu
Vyjádřete matici přechodu od báze \(N\) ke kanonické bázi.
Nápověda 3. - konečné určení báze M
Ze znalosti matice přechodu \(P\) od báze \(N\) ke kanonické bázi prostoru \(\mathbb{R}^3\) a matice \( \langle M \rangle_{k.b.}\), obsahující v sloupcích souřadnice vektorů báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi určete v souladu s teorií, obsaženou v rozboru, bázi \(M\)
Řešení
Bázi \(M\), k níž je \(M^*\) duální, zadanou vůči vektorům kanonické báze, získáme řešením výrazu:
\[(\langle M^*\rangle_N|E) \sim \cdots \sim (\langle M\rangle_{k.b.}|E)\]kde zadáme-li vektory \(\langle M^*\rangle_N\) v řádcích, pak obdržíme vektory \(\langle M\rangle_{k.b.}\) v sloupcích maticového výrazu a naopak.
Maticový výraz tedy řešíme jako:
\[\left( \begin{array}{lll|rrr} \cdots & \langle f_1\rangle_N & \cdots & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ \cdots & \langle f_2\rangle_N & \cdots & & 0 & 1 & 0 \\ \cdots & \langle f_3\rangle_N & \cdots & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \] \[=\left( \begin{array}{lll|rrr} 3 & 2 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 6 & & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \cdots \] \[ \cdots \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & 0 & & \langle m_1\rangle_{k.b.} & \langle m_2\rangle_{k.b.} & \langle m_3\rangle_{k.b.} \\ 0 & 0 & 1 & & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{array} \right)\]dosazením získáváme:
\[\left( \begin{array}{lll|rrr} 3 & 2 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 6 & & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+3I\\ III+2I\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 3 & 2 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} III+II\\ \\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 3 & 2 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & & 5 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I+2III\\ 6III\\ 6II\\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 3 & 0 & 0 & \,&\, 4 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & & 4 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & & 2 & 6 & 6 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 5I\\ II \to III\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 6 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & & 2 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & & 4 & 6 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 5I\\ 3II\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & & 6 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & & 4 & 6 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \] \[ \langle M\rangle_{k.b.} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\ 6 & 5 & 5 \\ 4 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]Kde souřadnice vektorů báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi jsou v sloupcích získané matice \( \langle M\rangle_{k.b.}\).
Řešením maticového výrazu \((E|N) \sim (E|P)\) dále získáme matici přechodu \(P\) od \(N\) ke \(k.b.\).
Vektory bází píšeme do sloupců matic, E rozumíme jednotkovou maticí a P hledanou maticí přechodu.
Z výrazu je patrné na první pohled, že aby se obě strany rovnaly, musí platit, že matice \(P=N\) a tedy:
\[ P = N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5\\ 6 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]Máme-li vyjádřenou matici přechodu \(P\) od báze \(N\) ke kanonické bázi prostoru \(\mathbb{R}^3\) a matici \( \langle M\rangle_{k.b.} \), obsahující v sloupcích souřadnice vektorů báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi, pak matici \( \langle M\rangle_{N}\) získáme:
\[ \langle M \rangle_{N}= P \langle M\rangle_{k.b.} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5\\ 6 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\ 6 & 5 & 5 \\ 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}=\] \[=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 6\\ 3 & 3 & 4 \\ 6 & 3 & 6 \end{pmatrix}\]kde vektory báze \(M\) jsou v sloupcích matice \(\langle M\rangle_{N}\) a tedy:
\(M=\{ (5{,}3,6),(1{,}3,3),(6{,}4,6) \}\)Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!
Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).
Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.
