Sbírka řešených úloh

Determinant rozvojem I.

Úloha číslo: 1339

• Rozbor

  Veškerá pro výpočet potřebná teorie je obsažena v úloze Jak na determinanty.

  Metody rozvoje determinantu obvykle využíváme při výpočtu determinantů matice alespoň čtvrtého řádu, zvláště v případě, kdy je většina prvků nějakého řádku či sloupce matice nulová (výpočet se tak značně zjednoduší).

• Nápověda – výpočet determinantu

  Jak vypadá rozvoj determinantu podle nějakého sloupce? Vhodně vyberte sloupec, podle něhož budete determinant rozvíjet a následně jej vypočtěte.

• Řešení nápovědy – výpočet determinantu

  Rozvoj determinantu čtvercové matice \(A\) řádu \(n\) dle \(j\)-tého sloupce je

  \[\det{A}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}}.\]

  Při výběru \(j\) je vhodné volit sloupec s největším počtem nul, neboť v takovém případě bude řada členů nulová. Vyznačme oranžově nulové prvky matice.

  \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & \color{orange}{0} & 3\\ 2 & \color{orange}{0} & 1 & 2\\ 2 & \color{orange}{0} & 2 & 2\\ 1 & \color{orange}{0} & 1 & \color{orange}{0} \end{vmatrix} \]

  Největší počet nul obsahuje sloupec druhý. Proveďme tedy rozvoj podle něj

  \[ \begin{vmatrix} 1 & \color{red}{2} & 0 & 3\\ 2 & \color{red}{0} & 1 & 2\\ 2 & \color{red}{0} & 2 & 2\\ 1 & \color{red}{0} & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{1+2}\cdot2\cdot\begin{vmatrix}2&1&2\\ 2&2&2\\ 1&1&0 \end{vmatrix} + (-1)^{2+2}\cdot0\cdot\begin{vmatrix}1&0&3\\ 2&2&2\\ 1&1&0 \end{vmatrix} + \] \[ \hspace{6em}+ (-1)^{3+2}\cdot0\cdot\begin{vmatrix}1&0&3\\ 2&1&2\\ 1&1&0 \end{vmatrix}+ (-1)^{4+2}\cdot0\cdot\begin{vmatrix}1&0&3\\ 2&1&2\\ 2&2&2 \end{vmatrix} = \] \[\hspace{17.3em}=(-1)\cdot 2\cdot\begin{vmatrix}2&1&2\\ 2&2&2\\ 1&1&0 \end{vmatrix}.\]

  Výpočet determinantu čtvrtého řádu jsme převedli na výpočet determinantu řádu třetího. Nyní bychom mohli pokračovat v rozvojích, rychlejší však bude aplikovat přímo Sarrusovo pravidlo.

  \[(-1)\cdot 2\cdot\begin{vmatrix}2&1&2\\ 2&2&2\\ 1&1&0 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 2 \cdot (0+2+4-4-0-4) = 4.\]

• Odpověď

  Determinant nad polem \(\mathbb{Z}_5\) je roven \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 2 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} =4. \]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.