Sbírka řešených úloh

Determinant rozvojem II.

Úloha číslo: 1340

• Rozbor

  Veškerá pro výpočet potřebná teorie je obsažena v úloze Jak na determinanty.

  Metody rozvoje determinantu obvykle využíváme při výpočtu determinantů matice alespoň čtvrtého řádu, zvláště v případě, kdy je většina prvků nějakého řádku či sloupce matice nulová (výpočet se tak značně zjednoduší).

• Nápověda – výpočet determinantu

  Jak vypadá rozvoj determinantu podle nějakého sloupce? Vhodně vyberte řádek, podle něhož budete determinant rozvíjet a následně jej vypočtěte.

• Řešení nápovědy – výpočet determinantu

  Rozvoj determinantu čtvercové matice \(A\) řádu \(n\) dle \(j\)-tého řádku je

  \[\det{A}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ji}\det{A_{ji}}.\]

  Při výběru \(j\) je vhodné volit řádek s největším počtem nul, neboť v takovém případě bude řada členů nulová. Vyznačme oranžově nulové prvky matice.

  \[ \begin{vmatrix} \color{orange}{0} & \color{orange}{0} & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & \color{orange}{0} \end{vmatrix} \]

  Největší počet nul obsahuje řádek první. Proveďme tedy rozvoj podle něj

  \[ \begin{vmatrix} \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{3} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \] \[= (-1)^{1+1}\cdot 0 \cdot \begin{vmatrix}2&1\\ 1&0 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2}\cdot 0 \cdot \begin{vmatrix}1&1\\ 2&0 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix}1&2\\ 2&1 \end{vmatrix}= \] \[= 3 \cdot \begin{vmatrix}1&2\\ 2&1 \end{vmatrix}= 3\cdot(1\,\cdot\, 1 - 2\,\cdot\, 2) = 1.\]

  Výpočet determinantu třetího řádu jsme převedli na výpočet determinantu řádu druhého, který jsme namísto dalšího zdlouhavého rozvoje vypočítali pomocí Sarrusova pravidla.

• Odpověď

  Determinant nad \(\mathbb{Z}_5\) je roven \[ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}=1. \]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.