Sbírka řešených úloh

Maticový rozbor III.

Úloha číslo: 1426

• Poznámka

  K řešení úlohy je třeba ovládat

  • Základní pojmy,
  • Vlastní vektory,
  • Maticový polynom,
  • Anulující polynom matice,
  • Minimální polynom,
  • Diagonalizovatelnost matice,
    
    
  • partii homomorfismů a jejich maticové reprezentace.

• Nápověda 1 – diagonalizovatelnost

  Je matice diagonalizovatelná?

  Matice je diagonalizovatelná, jestliže je její minimální polynom rozložitelný v lineární faktory a má jednoduché kořeny.

• Řešení nápovědy 1 – diagonalizovatelnost

  Určíme charakteristický polynom matice $$p(\lambda) = \det(\lambda E - A) = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -2 & -4 \\ 0 & \lambda - 5 & -6 \\ 0 & 1 & \lambda \end{vmatrix}=$$ Determinant snadno vypočítáme rozvojem podle prvního sloupce. $$= (\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda - 5 & -6 \\ 1 & \lambda \end{vmatrix}= (\lambda -2)\big[\lambda(\lambda - 5) + 6\big] =$$ $$=(\lambda-2)(\lambda^2 - 5\lambda + 6) = (\lambda-2)^2(\lambda - 3).$$ Minimální polynom $m(\lambda)$ tedy bude jeden z polynomů $$\begin{eqnarray} \mu_1(\lambda) &=& (\lambda-2)(\lambda - 3),\\ p(\lambda) = \mu_2(\lambda) &=& (\lambda-2)^2(\lambda - 3),\\ \end{eqnarray}$$

  který bude anulující a současně nejmenšího stupně.

  • Je polynom $\mu_1$ anulujícím polynomem matice $A$? Ano, je, neboť $$\mu_1(A) = (A - 2E)(A - 3E) =$$ $$= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O.$$

  Máme tedy minimální polynom matice $A$ $$m(\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda - 3),$$

  který je rozložitelný na lineární faktory a má jednoduché kořeny.

  Matice $A$ je tak dle věty o podobnosti diagonální matici diagonalizovatelná.

• Nápověda 2 – vlastní čísla, vlastní vektory

  Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice $A$.

  Vlastní vektory potřebujeme, neboť, jak brzy uvidíme, budou tvořit vektory báze.

• Řešení nápovědy 2 – vlastní čísla, vlastní vektory

  Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu $$p(\lambda) = (\lambda-2)^2(\lambda-3).$$

  Máme tedy dvě vlastní čísla: $\lambda_1 = 2$ a $\lambda_2 = 3$.

  ---

  Hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu $\lambda_1$. Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy $(\lambda_1E - A)v^\mathrm{T} = 0$.

  $$\begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$$ $$\hspace{2.7cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1cm} \left[\begin{array}{ccl} (\,1 & 0 & \phantom{-}0\,), \\ (\,0 & 2 & -1\,)\phantom{,} \\ \end{array}\right].$$ Dimenze řešení je $2$. Máme tedy dvojici lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušící vlastnímu číslu $\lambda_{1}$ $$\begin{eqnarray} u &=& (1,{}0,{}0), \\ v &=& (0,{}2,-1). \\ \end{eqnarray}$$

  Dále hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu $\lambda_2$. Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy $(\lambda_2E - A)v^\mathrm{T} = 0$.

  $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\hspace{2.7cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1cm} \big[\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\ \end{pmatrix}\big].$$ K vektorům $u,v$ jsme dostali třetí vlastní vektor matice $A$ $$w = (2,{}3,-1).$$

  Můžete ověřit, že vektory $u,v,w$ jsou lineárně nezávislé. Existuje ale věta, která říká, že vlastní vektory příslušící různým vlastním číslům lineárně nezávislé jsou.

• Nápověda 3 – diagonální tvar a báze

  Určete diagonální tvar matice $A$ a příslušnou bázi.

  Uvažujte, že matice $A$ je maticí endomorfismu $f$ vzhledem ke kanonické bázi. Najděte takovou bázi $B$, aby byla matice endomorfismu $f$ vůči $B$ diagonální.

• Řešení nápovědy 3 – diagonální tvar a báze

  Ukazuje se, že diagonální matice, která je matici $A$ podobná, je matice složená z vlastních čísel $$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$ Regulární matice $S$, obstarávající podobnost $A = S^{-1} D S$, má ve sloupcích po řadě vlastní vektory matice $A$ $$S= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$$

  Ve sloupcích matice jsou vektory hledané báze.

  Proč to tak funguje? Jak s maticí souvisí báze? A vůbec, báze čeho?

• Proč to funguje, aneb homomorfní náhled na podobnost

  Nechť matice $A$ je maticí endomorfismu $f$ prostoru $\mathbb{R}^3$ vzhledem ke kanonické bázi. $$\begin{array}{ccc} ~&f&~\\ \mathbb{R}^3 & \longleftarrow---- & \mathbb{R}^3\\ ^{\mathrm{k.b}} & A & ^{\mathrm{k.b}} \\ \end{array}$$

  Budeme se ptát – jakou matici má endomorfismus vůči jiné bázi?

  Endomorfismus rozšíříme identickým automorfismem do prostorů s bází $B$.

  • Matici přechodu od báze $B$ ke kanonické bázi označme $S$.
  • Maticí přechodu od kanonické báze k bázi $B$ je pak matice $S^{-1}$.

  $$\overset{f}{\longleftarrow------------}$$ $$\begin{array}{ccccc} \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{f}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 \\ ^{B} & S^{-1} & ^\mathrm{k.b} & A & ^\mathrm{k.b.} & S & ^{B}\\ \end{array}$$ $$\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{D=S^{-1}AS}$$

  Endomorfismus $f$ má vzhledem k bázi $B$ matici $D=S^{-1}AS$. To je ale definiční vztah pro podobnost matic $D,A$!

  Stojíme tedy před úkolem najít takovou bázi $B$ (resp. matici přechodu $S$), aby $D$ byla diagonální.

  V předchozí části úlohy jsme našli vlastní vektory $u,v$ pro vlastní číslo $\lambda_1$ a vlastní vektor $w$ pro vlastní číslo $\lambda_2$.

  $$\begin{array}{ccccc} A u^\mathrm{T} = \lambda_1 u^\mathrm{T} & \Leftrightarrow & f(u) = \lambda_1 u \\ A v^\mathrm{T} = \lambda_1 v^\mathrm{T} & \Leftrightarrow & f(v) = \lambda_1 v \\ A w^\mathrm{T} = \lambda_2 w^\mathrm{T} & \Leftrightarrow & f(w) = \lambda_2 w \\ \end{array}$$

  Vlastnosti vlastních vektorů jsou v levém sloupci, v pravém sloupci máme ekvivalentní tvrzení v řeči endomorfismu $f$ s maticí $A$.

  Když mají vlastní vektory takové „pěkné“ vlastnosti, co kdybychom je zkusili vzít jako bázi $B$? Jak pak bude vypadat matice $D$?

  $$B = \lbrace u,v,w \rbrace$$

  Matice $D$ je maticí homomorfismu $f$ vzhledem k bázi $B$. Tu získáme dle definice tak, že vezmeme vektory báze $B$, nalezneme jejich obrazy při endomorfismu $f$ a souřadnice těchto obrazů vůči bázi $B$ zapíšeme do sloupců matice $D$. Proveďme

  $$\begin{eqnarray} \langle f(u) \rangle_B &=& \langle \lambda_1 u \rangle_B = \langle \lambda_1u \color{grey}{+ 0v + 0w} \rangle_B = (\lambda_1{,}0,0),\\ \langle f(v) \rangle_B &=& \langle \lambda_1 v \rangle_B = \langle \color{grey}{0u+} \lambda_1v \color{grey}{+0w} \rangle_B = (0,\lambda_1{,}0),\\ \langle f(w) \rangle_B &=& \langle \lambda_2 w \rangle_B = \langle \color{grey}{0u + 0v +} \lambda_2w \rangle_B = (0{,}0,\lambda_2), \end{eqnarray}$$ $$D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}.$$

  Vskutku, matice endomorfismu $f$ vzhledem k $B$ je skutečně diagonální!

  Uvedený postup by šlo snadno zobecnit pro všechny diagonalizovatelné matice. Proto můžeme vyřknout závěr:

  Diagonální tvar $D$ diagonalizovatelné matice $A$ získáme tak, že nalezneme bázi $B$ tvořenou vlastními vektory matice $A$. Vlastní čísla příslušící vektorům báze $B$ pak po řadě poklademe na hlavní diagonálu matice $D$.

• Zkouška

  Můžeme ověřit, že nalezená regulární matice $S$ skutečně dává k matici $A$ podobnou diagonální matici $D=S^{-1}AS$.

  Nejprve určíme inverzní matici k matici $S$, např. metodou užitou v tomto příkladě.

  $$S= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \,&\, 0 & 1 & 0 \\ 0 &-1 &-1 \,&\, 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \sim \ \ldots\ \sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 &-2 &-4 \\ 0 & 1 & 0 \,&\, 0 &-1 &-3 \\ 0 & 0 & 1 \,&\, 0 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ $$S^{-1}= \begin{pmatrix} 1 &-2 &-4 \\ 0 &-1 &-3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ A konečně provedeme maticový součin $$D = S^{-1} A S = \begin{pmatrix} 1 &-2 &-4 \\ 0 &-1 &-3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 &-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}=$$ $$= \begin{pmatrix} 2 & -4 & -8 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$ Skutečně jsme dostali diagonální matici. Na hlavní diagonále jsou po řadě vlastní čísla příslušící vlastním vektorům, které jsou v uspořádané bázi $B$.

• Odpověď

  Matice $A$ je nad $\mathbb{R}$ diagonalizovatelná. Její diagonálním tvarem je matice $$D= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$ Příslušná báze je $$B = \lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}2,-1),(2,{}3,-1)\rbrace.$$