Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Maticový rozbor III.

Úloha číslo: 1426

Rozhodněte, zda je matice \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) diagonalizovatelná. V kladném případě najděte její diagonální tvar a příslušnou bázi. \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & -1& 0 \end{pmatrix} \]
  • Poznámka

    K řešení úlohy je třeba ovládat

  • Nápověda 1 – diagonalizovatelnost

    Je matice diagonalizovatelná?

    Matice je diagonalizovatelná, jestliže je její minimální polynom rozložitelný v lineární faktory a má jednoduché kořeny.

  • Nápověda 2 – vlastní čísla, vlastní vektory

    Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice \(A\).

    Vlastní vektory potřebujeme, neboť, jak brzy uvidíme, budou tvořit vektory báze.

  • Nápověda 3 – diagonální tvar a báze

    Určete diagonální tvar matice \(A\) a příslušnou bázi.

    Uvažujte, že matice \(A\) je maticí endomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi. Najděte takovou bázi \(B\), aby byla matice endomorfismu \(f\) vůči \(B\) diagonální.

  • Odpověď

    Matice \(A\) je nad \(\mathbb{R}\) diagonalizovatelná. Její diagonálním tvarem je matice \[ D= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.\] Příslušná báze je \[B = \lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}2,-1),(2,{}3,-1)\rbrace.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze