Sbírka řešených úloh

Soustava lineárních rovnic II.

Úloha číslo: 1393

• Rozbor

  Rozšířenou matici soustavy upravíme na odstupňovaný tvar pomocí Gaussova eliminačního algoritmu a nalezneme řešení.

  Vzhledem k homogenitě soustavy bude řešením lineární množina s nulovým vektorem. Postačí tedy určit podprostor řešení s nulovým sloupcem pravých stran.

• Nápověda 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Určete rozšířenou matici soustavy a upravte ji pomocí Gaussova eliminačního algoritmu na odstupňovaný tvar.

• Řešení nápovědy 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Sestavíme rozšířenou matici soustavy \[ \left( \begin{array}{cccccc|c} 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 0 \,&\, 0 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 3 \,&\, 0 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \,&\, 0 \\ \end{array} \right), \] a upravíme ji na odstupňovaný tvar \[ \left( \begin{array}{cccccc|c} 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 0 \,&\, 0 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 3 \,&\, 0 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ 2II+I\\ III+I\\ 2IV+I\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{cccccc|c} 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 0 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 4 & 4 \,&\, 0 \\ 0 & 2 & 4 & 4 & 3 & 3 \,&\, 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 2 & 2 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 2III + II\\ IV + III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{cccccc|c} 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 0 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 4 & 4 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \,&\, 0 \\ \end{array} \right). \phantom{ \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 2III + II\\ IV + III\\ \end{array} } \]

• Nápověda 2 – řešení homogenní soustavy

  Na základě počtu nezávislých řádků rozšířené matice soustavy určete dimenzi řešení soustavy. Jak vypadá množina všech řešení soustavy?

• Řešení nápovědy 2 – řešení homogenní soustavy

  Dimenze řešení je dána rozdílem počtu neznámých a počtu nezávislých rovnic (řádků). Proto je dimenze řešení \(6-2 = 4\). Musíme tedy nalézt čtyři lineárně nezávislé vektory, jejichž lineární obal bude tvořit množinu všech řešení. \[ \left( \begin{array}{cccccc|c} 3 & 2 & 2 & 4 & 2 & 0 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 4 & 4 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \] \[ \left[ \begin{array}{c} \left( \begin{array}{c} \, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\phantom{,} \end{array} \right].\hspace{1.5em} \]

  Nulové řádky matice jsme vynechali. Aby byly vektory lineárně nezávislé, volili jsme poslední čtyři složky vektorů tak, aby se chovaly jako kanonická báze.

  Nevyplněné složky vektorů doplníme tak, aby byly rovnice splněny.

  \[ \left[ \begin{array}{c} \left( \begin{array}{c} \, \overset{\color{blue}{4}}{\_\_}, \overset{\color{blue}{3}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\color{blue}{0}}{\_\_}, \overset{\color{blue}{3}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\color{blue}{2}}{\_\_}, \overset{\color{blue}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\color{blue}{1}}{\_\_}, \overset{\color{blue}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\phantom{,} \end{array} \right].\hspace{1.5em} \] Tím jsme získali prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic.

• Odpověď

  Udaná soustava lineárních rovnic nad tělesem \(\mathbb{Z}_5\) má následující řešení \[ K = \big[(4{,}3,1{,}0,0{,}0),(0{,}3,0{,}1,0{,}0),(2{,}1,0{,}0,1{,}0),(1{,}1,0{,}0,0{,}1) \big]. \]