Sbírka řešených úloh

Soustava lineárních rovnic V.

Úloha číslo: 1396

• Rozbor

  Úlohu budeme řešit analogicky jako Užití Gaussova eliminačního algoritmu. Tj.

  1. Zapíšeme soustavu do rozšířené matice soustavy.
  2. Úpravíme rozšířenou matici soustavy na odstupňovaný tvar.
  3. Rozhodneme o řešitelnosti dle Frobeniovy věty.
  4. Určíme libovolný vektor, který je řešením.
  5. Určíme dimenzi řešení.
  6. Nalezneme řešení homogenní soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.
  7. Zapíšeme množinu všech řešení.

• Nápověda 1 – rozšířená matice soustavy

  Přepište udanou soustavu lineárních rovnic do tvaru rozšířené matice soustavy.

• Řešení nápovědy 1 – rozšířená matice soustavy

  Rozšířenou matici soustavy získáme tak, že k matici soustavy tvořené koeficienty přidáme napravo sloupec pravých stran. \[ \left( \begin{array}{rrrr|r} 2 & 10 & 9 & 7 \,&\, 8 \\ 6 & 8 & 5 & 10 \,&\, 2 \\ 1 & 5 & 10 & 9 \,&\, 4 \\ 7 & 2 & 4 & 8 \,&\, 6 \\ \end{array} \right) \]

• Nápověda 2 – úprava na odstupňovaný tvar

  Upravte rozšířenou matici soustavy na odstupňovaný tvar.

• Řešení nápovědy 2 – úprava na odstupňovaný tvar

  Rozšířenou matici soustavy upravíme pomocí Gaussova eliminačního algoritmu na odstupňovaný tvar. \[ \left( \begin{array}{rrrr|r} 2 & 10 & 9 & 7 \,&\, 8 \\ 6 & 8 & 5 & 10 \,&\, 2 \\ 1 & 5 & 10 & 9 \,&\, 4 \\ 7 & 2 & 4 & 8 \,&\, 6 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+8I\\ 5III+II\\ IV+2I\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrrr|r} 2 & 10 & 9 & 7 \,&\, 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \sim \phantom{ \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ \phantom{IV}\\ \end{array}} \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrrr|r} 2 & 10 & 9 & 7 \,&\, 8 \\ \end{array} \right) \phantom{ \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \end{array}} \]

• Nápověda 3 – řešitelnost soustavy dle Frobenia

  Dle Frobeniovy věty je soustava řešitelná právě tehdy, když je hodnost rozšířené matice soustavy rovna hodnosti matice soustavy. Pohledem na odstupňovaný tvar matice rozhodněte, zda je soustava řešitelná. \[ \left( \begin{array}{rrrr|r} 2 & 10 & 9 & 7 \,&\, 8 \\ \end{array} \right) \]

• Řešení nápovědy 3 – řešitelnost soustavy dle Frobenia

  Soustava lineárních rovnic je dle Frobeniovy věty řešitelná, neboť je hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. \(r(A) = r(A\,|\,b) = 1\).

• Nápověda 4 – určení vektoru řešení

  Řešením soustavy je lineární množina – libovolný vektor, který je řešením + řešení soustavy s nulovým sloupcem pravých stran. Nalezněte nejprve libovolný vektor, který je řešením.

• Řešení nápovědy 4 – určení vektoru řešení

  Nalezneme libovolný vektor, který je řešením soustavy. \[ \left( \begin{array}{rrrr|r} 2 & 10 & 9 & 7 \,&\, 8 \\ \end{array} \right) \] \[ \left( \begin{array}{c} \, \overset{4}{\_\_},\, \overset{0}{\_\_},\, \overset{0}{\_\_},\, \overset{0}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\hspace{2em} \] Poslední tři složky vektoru jsme pro jednoduchost zvolili \(0\).
  Aby byla rovnice splněna musí být pak první složka \(4\).

  Dostali jsme jeden z možných vektorů řešení soustavy

  \[ \big(4{,}0,0{,}0 \big). \]

• Nápověda 5 – určení dimenze řešení

  Víme, že množinou řešení soustavy je lineární množina. Vektor jsme již nalezli. Abychom mohli nalézt i podprostor vektorů dávající nulovou pravou stranu, musíme určit jeho dimenzi – tedy kolik lineárně nezávislých vektorů máme hledat.

  Určete dimenzi řešení.

• Řešení nápovědy 5 – určení dimenze řešení

  Dimenze řešení je dána rozdílem počtu neznámých a počtu lineárně nezávislých rovnic (řádků). Neznámých je \(4\), lineárně nezávislá rovnice je \(1\).

  Dimenze řešení je \(4-1 = 3\). Hledejme podprostor generovaný třemi lineárně nezávislými vektory.

• Nápověda 6 – řešení homogenní soustavy

  Dimenze řešení je \(3\). Nalezněte tři lineárně nezávislé vektory, které jsou řešením soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.

• Řešení nápovědy 6 – řešení homogenní soustavy

  Sloupec pravých stran upravené rozšířené matice soustavy vynulujeme a vyřešíme homogenní soustavu \[ \left( \begin{array}{rrrr|r} 2 & 10 & 9 & 7 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \] \[ \left[ \begin{array}{c} \left( \begin{array}{c} \, \overset{6}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{1}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{2}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\phantom{,} \end{array} \right].\hspace{1.5em} \]

  Poslední tři složky vektorů řešení jsme zvolili tak, aby byly vektory lineárně nezávislé.

  První složky vektorů jsme dopočítali tak, aby byla rovnice splněna.

• Nápověda 7 – množina všech řešení soustavy

  Množina všech řešení soustavy lineárních rovnic je lineární množina. Napište ji.

• Řešení nápovědy 7 – množina všech řešení soustavy

  Množina všech řešení udané soustavy je lineární množina

  \[ K = (4{,}0,0{,}0) + \big[(6{,}1,0{,}0),(1{,}0,1{,}0),(2{,}0,0{,}1) \big]. \]

• Odpověď

  Řešením udané soustavy lineárních rovnic nad polem \(\mathbb{Z}_{11}\) je lineární množina \[ K = (4{,}0,0{,}0) + \big[(6{,}1,0{,}0),(1{,}0,1{,}0),(2{,}0,0{,}1) \big]. \]