Sbírka řešených úloh

Hodnost matice I.

Úloha číslo: 1329

• Rozbor

  Úpravu matice do řádkově odstupňovaného tvaru provádíme pomocí Gaussovy eliminační metody. Podle tohoto algoritmu provádíme logickou posloupnost řádkových úprav tak, abychom se dopracovali k požadovanému tvaru matice.

  Následké určení hodnosti matice znamená pouhé určení počtu nenulových řádků, případně počtu bázových sloupců, v řádkově odstupňovaném tvaru..

  Podrobný postup je představen v úloze Hodnost matice.

• Nápověda 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Pomocí Gaussovy eliminační metody nalezněte řádkově odstupňovaný tvar zadané matice. Pozor, pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_7\)!

  \[ A= \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 6 & 0 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]

  Gaussův algoritmus je představen v Odstupňovaný tvar, Gaussova eliminace.

• Řešení nápovědy 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Matici upravíme užitím Gaussova algoritmu.

  1. Pomocí prvního řádku vynulujeme druhou až pátou pozici prvního sloupce

     \[ \hspace{-1em} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 6 & 0 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 5I\\ III + 3I\\ IV + 2I\\ \phantom{V}\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 2 & 4 & 6 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 6 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \end{pmatrix},\]

     této úpravě odpovídá transformační matice

     \[T_1=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right).\]

  2. Pomocí druhého řádku vynulujeme třetí až pátou pozici druhého sloupce

     \[ \hspace{-1em} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 2 & 4 & 6 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 6 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 2II\\ \phantom{IV}\\ \phantom{V}\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 6 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \end{pmatrix},\]

     této úpravě odpovídá transformační matice

     \[T_2=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right).\]

  3. Pomocí třetího řádku vynulujeme čtvrtou a pátou pozici třetího sloupce

     \[ \hspace{-1em} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 6 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 6III\\ \color{black}{V + 4III}\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix},\]

     této úpravě odpovídá transformační matice

     \[T_3= \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 6 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right).\]

  4. Nakonec prohodíme čtvrtý a páty řádek

     \[ \hspace{-1em} \begin{array}{r} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ \downarrow \\ \uparrow \\ \end{array} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ \downarrow \\ \uparrow \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 5 \end{pmatrix},\]

     této úpravě odpovídá transformační matice

     \[T_4=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right).\]

  Úprava matice je dokončena, neboť je v řádkově odstupňovaném tvaru.

  Všechny provedené úpravy Gaussovy eliminace jsou dány součinem dílčích transformačních matic

  \[ T=T_4 T_3 T_2 T_1= \left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 6 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 4 & 0 & 1\\ 3 & 5 & 6 & 1 & 0 \end{smallmatrix} \right).\]

  Matici v řádkově odstupňovaném tvaru pak můžeme psát jako součin transformační matice \(T\) a původní matice \(A\), tedy

  \[ A_v = T \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 6 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 4 & 0 & 1\\ 3 & 5 & 6 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 6 & 0 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 2 – určení hodnosti matice

  Pomocí počtu nenulových řádků (nebo bázových sloupců) určete hodnost matice.

  Určení hodnosti matice podrobně vysvětluje úloha Hodnost matice.

• Řešení nápovědy 2 – určení hodnosti matice

  Hodnost matice je dána počtem nenulových řádků (nebo bázových sloupců) v řádkově odstupňovaném tvaru. Tento počet je \(5\). Hodnost matice \(A\) je \(5\).

• Odpověď

  Příkladem řádkově odstupňovaného tvaru matice \(A\) je matice

  \[A_V= \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 3 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 1 & 5 \end{pmatrix}. \]

  Hodnost matice \(A\) je \(5\), zapisujeme \(r(A) = 5\).

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.