Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Homomorfismus IV.

Úloha číslo: 1375

Najděte předpis pro homomorfismus \(f:\ \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4\), jestliže \[ f(1{,}1,1) = (0{,}1,2{,}2),~ f(1{,}2,1) = (1{,}2,0,-1),~ f(1{,}1,2) = (2{,}0,2{,}1). \] Dále určete jádro, obraz, hodnost, defekt a typ homomorfismu \(f\).
  • Rozbor

    Máme-li nalézt předpis homomorfismu a jsou dány vektory a jejich obrazy, musíme nejprve ověřit, zda-li jsme schopni předpis rekonstruovat. Množina vzorů musí být lineárně nezávislá, aby tvořila bázi. Bude-li totiž množina bází, bude možné libovolný vektor prostoru zapsat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci jejich vektorů. Toho se při řešení využívá.

    Jádro, obraz, hodnost, defekt a typ homomorfismu nalezneme analogicky jako v úlohách

  • Nápověda 1 – předpis homomorfismu

    Nejprve ověřte, zda je množina vzorů \(\big\{(1{,}1,1),(1{,}2,1),(1{,}1,2)\big\} \) lineárně nezávislá a tedy jestli tvoří bázi.

    V kladném případě vyjádřete libovolný vektor \((x,y,z) \in \mathbb{R}^3\) jako lineární kombinaci vektorů báze s koeficienty \(a,b,c\). Pravou i levou stranu rovnice nahraďte obrazy. Ze vzniklé soustavy vyjádřete neznámé koeficienty lineární kombinace \(a,b,c\) pomocí složek libovolného vektoru \(x,y,z\).

  • Nápověda 2 – jádro a defekt homomorfismu

    Jádro homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in \mathbb{R}^3;~f(u) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), které se zobrazí na nulový vektor.

    Položte právě získaný předpis homomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro. Jaký je defekt homomorfismu?

  • Nápověda 3 – obraz a hodnost homomorfismu

    Obraz homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{v\in \mathbb{R}^4,~\exists u\in \mathbb{R}^3:~f(u) = v \big\}. \]

    Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^4\), na které se „něco“ zobrazí.

    • K určení obrazu homomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
    • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
    • Obraz homomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.
    • Jak se určí hodnost homomorfismu?
  • Nápověda 4 – typ homomorfismu

    Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem? Izomorfismem?

    Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

    Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem?

  • Odpověď

    Předpis homomorfismu \(f\) je \[ f(x,y,z)=(−3x+y+2z,x+y−z,4x−2y,6x−3y−z). \]
    • \(\mathrm{Ker\,}f = 0,\ d(f)=0\).
    • \(\mathrm{Im\,}f = \left[(-3{,}1,4{,}6),(0{,}4,-2,-3),(0{,}0,10{,}11) \right],\ r(f) = 3\).
    • Homomorfismus \(f\) je monomorfismem.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze