Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Lineární forma III.

Úloha číslo: 1443

Rozhodněte, zda zobrazení \(g\), které každé čtvercové matici \(A\) řádu \(n\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) přiřadí hodnotu jejího determinantu je lineární forma či nikoli.

  • Rozbor

    Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je lineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

    Nechť \( V\) Vektorový prostor nad \(T\), lineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

    1. \(\forall x,y \in V: f(x+y) = f(x) + f(y)\)
    2. \(\forall x \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax) = af(x)\)

    Obě tyto vlastnosti lze shrnout jako: \(\forall x, y \in V; \forall a \in T: f(ax+by)=af(x) + bf(y)\) a udávají linearitu zobrazení.

    Lineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojem Homomorfismus).

    Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o lineární formu.

  • Nápověda 1. - Odkud Kam

    Nejprve je nutné, v souladu s definicí, ověřit zda-li je \(g\) zobrazení z vektorového prostoru \(V\) do tělesa \(T\), nad kterým je prostor \(V\) definován.

    Postačí si tedy rozmyslet, jak přesně je definován determinant, odkud kam je skrze \(g\) zobrazováno.

  • Nápověda 2. - Linearita zobrazení

    V souladu s definicí nyní ověřme přímým dosazením, jestli zobrazení splňuje obě podmínky linearity zobrazení:

    1. \(\forall A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}: \det{(A+B)} = \det{A} + \det{B}\)
    2. \(\forall A \in \mathbb{R}^{n\times n}; \forall a \in \mathbb{R}: \det{aA} = a\det{A}\)

    Připomeňte si základní pravidla pro počítání s determinantem a jich využijte při řešení úlohy.

  • Řešení

    \(g\) je zobrazení, přiřazující každé čtvercové matici \(A\) řádu n nad tělesem \(\mathbb{R}\) její determinant, který je ale, dle definice determinantu, prvkem tělesa R a tedy platí požadované \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to R\)

    Nejprve ověřme podmínku \(\forall A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}: \det{(A+B)} = \det{A} + \det{B}\), kde:

    Tato vlastnost obecně neplatí. Důkaz je ovšem předmětem jiné kapitoly, tudíž provedu pouze demonstraci protipříkladem:

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

    zjevně platí, že:

    \[\det{A}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1{\cdot} 1 =1 , \qquad \det{B}= \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=(-1)^2=1 \] \[\det{(A+B)}= \begin{vmatrix} 1-1 & 0 \\ 0 & 1-1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}= 0\] \[\det{(A+B)}=0 \ne 1 + 1 = \det{A} + \det{B}\]

    a je tedy vidět, že tato podmínka není obecně splněna, tudíž zobrazení g nemůže být lineární.

    Druhá podmínka linearity \(\forall A \in \mathbb{R}^{n\times n}; \forall a \in \mathbb{R}: \det(aA) = a\det{A}\) není splněna, protože z vlastností determinantu (viz determinant) plyne rovnost:

    \[\det{aA}=a^n\det{A}\]

    která platnost této podmínky pro obecná \(a\) i \(n\) vylučuje.

    Můžeme říci, že \(g\) není lineární forma.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze