Sbírka řešených úloh

Sčítání a násobení matic

Úloha číslo: 1297

• 1. Nápověda – sčítání matic

  Připomeňme, jak je definováno sčítání matic.

  (i) Sčítání matic

  Nechť \(A=(a_{ij})_{m\times n},\ B=(b_{ij})_{m\times n}\) jsou matice nad okruhem R.

  Součtem matic \(A\) a \(B\) rozumíme matici \(C=(c_{ij})_{m\times n}\) pro jejíž prvky platí

  \[c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} \qquad \forall i=1, \ldots ,m;\ j= 1, \ldots ,n.\]

  Na základě definice proveďte součet matic \(A+B\).

• 1. Řešení nápovědy – sčítání matic

  Provedeme součet matic \(A,B\) dle definice součtu matic \[ A+B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 7\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 7\\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}. \]

• 2. Nápověda – násobení matic

  Připomeňme, jak je definováno násobení matic.

  (ii) Násobení matic

  Nechť \(A=(a_{ij})_{m\times n},\ B=(b_{jk})_{n\times p}\) jsou matice nad okruhem R.

  Součinem matic \(A,B\) rozumíme matici \(C = (c_{ik})_{m\times p}\), pro jejíž prvky platí \[c_{ik}=\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk}\qquad \forall i=1, \ldots, m;\ k= 1, \ldots, p.\]

  Na základě definice proveďte součin matic \(BD\).

• 2. Řešení nápovědy – součin matic

  Proveďme maticový součin dle definice

  \[ BD= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -6 & 2\\ 1 & 5 & 0 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}= \] \[= \begin{pmatrix} 1 {\cdot} 1 + 0 {\cdot} 1 + 0 {\cdot} 3 & 1\cdot -6 + 0 {\cdot} 5 + 0 {\cdot} 2 & 1{\cdot} 2 + 0 {\cdot} 0 + 0{\cdot} 3\\ 0{\cdot} 1 + 1{\cdot} 1 + 2 {\cdot} 3 & 0\cdot -6 + 1 {\cdot} 5 + 2 {\cdot} 2 & 0{\cdot} 2 + 1{\cdot} 0 + 2 {\cdot} 3 \end{pmatrix}=\] \[= \begin{pmatrix} 1 & -6 & 2\\ 7 & 9 & 6 \end{pmatrix}.\]

  Pozor – násobení matic není obecně komutativní! Tedy \(BD \neq DB\).

• 3. Nápověda – násobení matice skalárem

  Připomeňme, jak je násobení skalárem definováno.

  (iii) Násobení matice skalárem

  Nechť \(A=(a_{ij})\) je matice typu \(m\times n\) nad okruhem \(R\) a \(c\in R\).

  Pak definujeme matici \(cA\) jako matici \(B=(b_{ij})\) typu \(m\times n\), pro jejíž prvky platí \[b_{ij}=c\cdot a_{ij} \qquad i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots ,n.\]

  Můžeme také říci, že matice \(B\) je rovna součinu matice \(A\) typu \(m\times n\) a skalární matice \(S\) řádu \(n\) s prvkem \(c\) na hlavní diagonále.

  Na základě definice určete matici \(cB\).

• 3. Řešení nápovědy – násobení matice skalárem

  Dle definice provedeme skalární násobek matice \[ cB = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{\cdot} 1 & 3{\cdot} 0 & 3{\cdot} 0\\ 3{\cdot} 0 & 3{\cdot} 1 & 3{\cdot} 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 6 \\ \end{pmatrix}. \]