Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Sčítání a násobení matic

Úloha číslo: 1297

Je dán skalár \(c=3\) a matice \[ A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 7\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix} 1 & -6 & 2\\ 1 & \phantom{-}5 & 0 \\ 3 & \phantom{-}2 & 3 \end{pmatrix}. \]

Určete:

  1. Součet matic \(A+B\).
  2. Součin matic \(BD\).
  3. Skalární násobek matice \(cB\).

  • 1. Nápověda – sčítání matic

    Připomeňme, jak je definováno sčítání matic.
    (i) Sčítání matic

    Nechť \(A=(a_{ij})_{m\times n},\ B=(b_{ij})_{m\times n}\) jsou matice nad okruhem R.

    Součtem matic \(A\) a \(B\) rozumíme matici \(C=(c_{ij})_{m\times n}\) pro jejíž prvky platí

    \[c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} \qquad \forall i=1, \ldots ,m;\ j= 1, \ldots ,n.\]
    Na základě definice proveďte součet matic \(A+B\).
  • 2. Nápověda – násobení matic

    Připomeňme, jak je definováno násobení matic.
    (ii) Násobení matic

    Nechť \(A=(a_{ij})_{m\times n},\ B=(b_{jk})_{n\times p}\) jsou matice nad okruhem R.

    Součinem matic \(A,B\) rozumíme matici \(C = (c_{ik})_{m\times p}\), pro jejíž prvky platí \[c_{ik}=\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk}\qquad \forall i=1, \ldots, m;\ k= 1, \ldots, p.\]
    Na základě definice proveďte součin matic \(BD\).
  • 3. Nápověda – násobení matice skalárem

    Připomeňme, jak je násobení skalárem definováno.
    (iii) Násobení matice skalárem

    Nechť \(A=(a_{ij})\) je matice typu \(m\times n\) nad okruhem \(R\) a \(c\in R\).

    Pak definujeme matici \(cA\) jako matici \(B=(b_{ij})\) typu \(m\times n\), pro jejíž prvky platí \[b_{ij}=c\cdot a_{ij} \qquad i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots ,n.\]

    Můžeme také říci, že matice \(B\) je rovna součinu matice \(A\) typu \(m\times n\) a skalární matice \(S\) řádu \(n\) s prvkem \(c\) na hlavní diagonále.

    Na základě definice určete matici \(cB\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze