Sbírka řešených úloh

Lineární forma III.

Úloha číslo: 1443

• Rozbor

  Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je lineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

  Nechť \( V\) Vektorový prostor nad \(T\), lineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

  1. \(\forall x,y \in V: f(x+y) = f(x) + f(y)\)
  2. \(\forall x \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax) = af(x)\)

  Obě tyto vlastnosti lze shrnout jako: \(\forall x, y \in V; \forall a \in T: f(ax+by)=af(x) + bf(y)\) a udávají linearitu zobrazení.

  Lineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojem Homomorfismus).

  Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o lineární formu.

• Nápověda 1. - Odkud Kam

  Nejprve je nutné, v souladu s definicí, ověřit zda-li je \(g\) zobrazení z vektorového prostoru \(V\) do tělesa \(T\), nad kterým je prostor \(V\) definován.

  Postačí si tedy rozmyslet, jak přesně je definován determinant, odkud kam je skrze \(g\) zobrazováno.

• Nápověda 1. - Odkud Kam - řešení

  Jak je řečeno v zadání úlohy g je zobrazení, přiřazující každé čtvercové matici A řádu n nad tělesem \(\mathbb{R}\) její determinant, který je ale, dle definice determinantu, prvkem tělesa \(\mathbb{R}\) a tedy platí požadované \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R}\)

• Nápověda 2. - Linearita zobrazení

  V souladu s definicí nyní ověřme přímým dosazením, jestli zobrazení splňuje obě podmínky linearity zobrazení:

  1. \(\forall A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}: \det{(A+B)} = \det{A} + \det{B}\)
  2. \(\forall A \in \mathbb{R}^{n\times n}; \forall a \in \mathbb{R}: \det{aA} = a\det{A}\)

  Připomeňte si základní pravidla pro počítání s determinantem a jich využijte při řešení úlohy.

• Nápověda 2. - Linearita zobrazení - řešení

  Nejprve ověřme podmínku \(\forall A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}: \det{(A+B)} = \det{A} + \det{B}\), kde:

  Tato vlastnost obecně neplatí. Důkaz je ovšem předmětem jiné kapitoly, tudíž provedu pouze demonstraci protipříkladem:

  \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

  zjevně platí, že:

  \[\det{A}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1{\cdot} 1 =1 , \qquad \det{B}= \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=(-1)^2=1 \] \[\det{(A+B)}= \begin{vmatrix} 1-1 & 0 \\ 0 & 1-1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}= 0\] \[\det{(A+B)}=0 \ne 1 + 1 = \det{A} + \det{B}\]

  a je tedy vidět, že tato vlastnost není obecně spleněna, tudíž zobrazení \(g\) nemůže být lineární.

  Cvičně nyní ukažme, že ani druhá podmínka linearity \(\forall A \in \mathbb{R}^{n\times n}; \forall a \in \mathbb{R}: \det(aA) = a\det{A}\) není splněna, protože z vlastností determinantu (viz determinant) plyne:

  \[\det{aA}=a^n\det{A}\]

  což nastává, neboť každý z řádků matice přenásobéme prvkem \(a\).

• Řešení

  \(g\) je zobrazení, přiřazující každé čtvercové matici \(A\) řádu n nad tělesem \(\mathbb{R}\) její determinant, který je ale, dle definice determinantu, prvkem tělesa R a tedy platí požadované \(g:\mathbb{R}^{n \times n} \to R\)

  Nejprve ověřme podmínku \(\forall A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}: \det{(A+B)} = \det{A} + \det{B}\), kde:

  Tato vlastnost obecně neplatí. Důkaz je ovšem předmětem jiné kapitoly, tudíž provedu pouze demonstraci protipříkladem:

  \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

  zjevně platí, že:

  \[\det{A}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1{\cdot} 1 =1 , \qquad \det{B}= \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=(-1)^2=1 \] \[\det{(A+B)}= \begin{vmatrix} 1-1 & 0 \\ 0 & 1-1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}= 0\] \[\det{(A+B)}=0 \ne 1 + 1 = \det{A} + \det{B}\]

  a je tedy vidět, že tato podmínka není obecně splněna, tudíž zobrazení g nemůže být lineární.

  Druhá podmínka linearity \(\forall A \in \mathbb{R}^{n\times n}; \forall a \in \mathbb{R}: \det(aA) = a\det{A}\) není splněna, protože z vlastností determinantu (viz determinant) plyne rovnost:

  \[\det{aA}=a^n\det{A}\]

  která platnost této podmínky pro obecná \(a\) i \(n\) vylučuje.

  Můžeme říci, že \(g\) není lineární forma.