Sbírka řešených úloh

Skalární součin I.

Úloha číslo: 1434

• Poznámka

  K řešení úlohy je třeba znát teorii související s bilineárními formami. Důležité poznatky potřebné k úlohám o skalárním součinu jsou shrnuty zde.

• a) Nápověda – je f skalární součin?

  Ověřte, je-li \(f\) pozitivně definitní symetrická bilineární forma.

  Matice symetrické bilineární formy je symetrická. Nalezněte normální tvar formy. Signatura pozitivně definitní formy musí být \((p,0{,}0),\ p\neq 0\).

• a) Řešení nápovědy – je f skalární součin?

  Z analytického vyjádření bilineární formy \(f\) sestavíme její matici \[ \color{grey}{f(x,y) = 3x_1y_1+2x_2y_2 + x_3y_3} \] \[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

  Matice bilineární formy \(f\) je symetrická. Bilineární forma \(f\) je symetrická.

  Symetrickými úpravami převeďme matici \(A\) na normální tvar

  \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{array}{l} I/\sqrt{3}\\ II/\sqrt{2}\\ \phantom{III} \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

  Symetrická úprava – každá elementární úprava provedená na řádky je provedená i na sloupce.

  Na diagonále jsou tři jedničky, žádné minus jedničky a nuly. Signatura formy \(f\) je \((3,{}0,{}0)\). Forma \(f\) je pozitivně definitní.

  ---

  Bilineární forma \(f\) na prostoru \(\mathbb{R}^3\) je symetrická a pozitivně definitní, je tedy skalárním součinem na prostoru \(\mathbb{R}^3\).

• b) Nápověda – ortogonální a ortonormální báze

  Nalezněte nějakou ortogonální a ortonormální bázi.

  Při úpravě na polární (popř. normální) tvar zaznamenávejte řádkové úpravy. Výsledná transformační matice má v řádcích vektory OG (popř. ON) báze.

• b) Řešení nápovědy – ortogonální a ortonormální báze

  K matici \(A\) „přilepíme“ jednotkovou matici, která bude zaznamenávat řádkové úpravy. \[(A\,|\,E) \sim (D\,|\,S^\mathrm{T}).\]

  Budeme provádět symetrické úpravy, až dostaneme polární tvar matice \(A\), v řádcích pravé matice pak budou vektory OG báze.

  \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \,&\, 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \,&\, 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \]

  Žádné úpravy netřeba provádět, matice vlevo je již v polárním tvaru. Ortogonální báze je tedy přímo kanonická báze

  \[ OG = \big\lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}1,{}0),(0,{}0,{}1) \big\rbrace. \]

  Nyní již budeme provádět symetrické úpravy, až dostaneme normální tvar matice \(A\), v řádcích pravé matice pak budou vektory ON báze.

  \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \,&\, 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \,&\, 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array}{l} I/\sqrt{3} \\ II/\sqrt{2} \\ \phantom{III} \end{array} \sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 \,&\, \tfrac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \,&\, 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \,&\, 0 & 0 & 1 \end{array}\right). \]

  Prováděli jsme symetrické úpravy, tedy každá elementární úprava provedená na řádek je provedena i na sloupce.

  Ortonormální báze je tedy

  \[ ON = \left\lbrace \left(\tfrac{\sqrt{3}}{3},{}0,{}0\right),\left(0,\tfrac{\sqrt{2}}{2},{}0\right),(0,{}0,{}1) \right\rbrace. \]

• c) Nápověda – kolmost vektorů

  Určete hodnotu parametru \(a\in\mathbb{R}\) tak, aby vektory \(x,y\) byly na sebe kolmé.

  (i) Kolmé (ortogonální) vektory

  Nechť \(V\) je prostor se skalárním součinem \(f\).

  Vektory \(u,v\in V\) se nazývají kolmé (ortogonální), je-li \(f(x,y)=0.\)

• c) Řešení nápovědy – kolmost vektorů

  Proveďme skalární součin \(f\) zadaných vektorů \[\color{grey}{x=(x_1,x_2,x_3)=(a-1,{}3,a+1),\quad y=(y_1,y_2,y_3)=(-4,-a,{}3a)}\] \[ \begin{eqnarray} f(x,y) &=& 3x_1y_1+2x_2y_2 + x_3y_3 =\\ &=& 3(a-1)(-4) + 2{\cdot} 3(-a) + (a+1) 3a=\\ &=& 3a^2 -15a + 12. \end{eqnarray} \]

  Aby byly vektory \(x,y\) musí být jejich skalární součin nulový. Tedy

  \[ \begin{eqnarray} f(x,y) &=& 0 \\ 3a^2 -15a + 12 &=& 0 \\ a^2 - 5a + 4 &=& 0 \\ (a-4)(a-1) &=& 0. \end{eqnarray} \] Podmínka nulového skalárního součinu je splěna pro \[ a \in \lbrace 1,{}4\rbrace. \] Vektory \(x,y\) jsou tedy kolmé, jestliže \(a = 1 \vee a=4\).

• d) Nápověda – ortogonální doplňky

  Určete ortogonální doplňky podprostorů \(W_1,W_2,W_3\) v prostoru \(\mathbb{R}^3\).

  Ortogonální doplněk

  Nechť \(V\) je reálný vektorový prostor se skalárním součinem \(f\).

  Ortogonálním doplňkem podprostoru \(W\) prostoru \(V\) budeme rozumět množinu všech vektorů z \(V\), které jsou kolmé na všechny vektory z \(W\).

  Symbolicky

  \[W^\perp = \big\lbrace v\in V;\ f(v,w)=0,\ \forall w \in W \big\rbrace.\]

• d) Řešení nápovědy – ortogonální doplňky

  Nechť ortogonálním doplňkem podprostoru \(W_1\) je množina vektorů \[W_1^\perp = \lbrace (x_1,x_2,x_3) \rbrace.\] Vektory ortogonálního doplňku \(W_1^\perp\) musí být kolmé na všechny vektory podprostoru \(W_1\) (postačí na generátory) \[f\big((x_1,x_2,x_3),(1,{}0,{}0)\big) = 0.\] \[ \color{grey}{f(x,y) = 3x_1y_1+2x_2y_2 + x_3y_3} \] Provedením skalárního součinu na levé straně dostáváme podmínku \[ 3x_1 = 0. \] Maticově \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0. \]

  Máme tedy homogenní soustavu, obsahující jednu rovnici o třech neznámých. Dimenze řešení je \(2\). Řešením je hledaný ortogonální doplněk

  \[ W_1^\perp = \big[ (0,{}1,{}0), (0,{}0,{}1) \big]. \]

  ---

  Nechť ortogonálním doplňkem podprostoru \(W_2\) je množina vektorů \[W_2^\perp = \lbrace (x_1,x_2,x_3) \rbrace.\] Vektory ortogonálního doplňku \(W_2^\perp\) musí být kolmé na všechny vektory podprostoru \(W_2\) (postačí na generátory) \[ \begin{eqnarray} f\big((x_1,x_2,x_3),(1,{}0,{}0)\big) = 0, \\ f\big((x_1,x_2,x_3),(0,{}1,{}0)\big) = 0. \end{eqnarray} \] \[ \color{grey}{f(x,y) = 3x_1y_1+2x_2y_2 + x_3y_3} \] Provedením skalárních součinů na levých stranách dostáváme podmínky \[ \begin{eqnarray} 3x_1 &=& 0, \\ 2x_2 &=& 0. \end{eqnarray} \] Maticově \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0. \]

  Máme tedy homogenní soustavu, obsahující dvě rovnice o třech neznámých. Dimenze řešení je \(1\). Řešením je hledaný ortogonální doplněk

  \[ W_2^\perp = \big[ (0,{}0,{}1) \big]. \]

  ---

  Nechť ortogonálním doplňkem podprostoru \(W_3\) je množina vektorů \[W_3^\perp = \lbrace (x_1,x_2,x_3) \rbrace.\] Vektory ortogonálního doplňku \(W_3^\perp\) musí být kolmé na všechny vektory podprostoru \(W_3\) (postačí na generátory) \[ \begin{eqnarray} f\big((x_1,x_2,x_3),(1,{}0,{}0)\big) = 0, \\ f\big((x_1,x_2,x_3),(1,{}1,{}0)\big) = 0, \\ f\big((x_1,x_2,x_3),(1,{}2,{}0)\big) = 0. \end{eqnarray} \] \[ \color{grey}{f(x,y) = 3x_1y_1+2x_2y_2 + x_3y_3} \] Provedením skalárních součinů na levých stranách dostáváme podmínky \[ \begin{eqnarray} 3x_1 &=& 0, \\ 3x_1 + 2x_2 &=& 0, \\ 3x_1 + 4x_2 &=& 0. \\ \end{eqnarray} \] Maticově \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}. \] Po úpravách \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \]

  dostáváme stejnou soustavu rovnic, jako v při hledání doplňku \(W_2^\perp\). Proto

  \[ W_3^\perp = W_2^\perp = \big[ (0,{}0,{}1) \big]. \]

• Odpověď

  1. Zadaná bilineární forma \(f\) je skalárním součinem na prostoru \(\mathbb{R}^3\).
  2. Ortogonální a ortonormální báze \[OG = \big\lbrace (1,{}0,{}0),(0,{}1,{}0),(0,{}0,{}1) \big\rbrace,\] \[ON = \left\lbrace \left(\tfrac{\sqrt{3}}{3},{}0,{}0\right),\left(0,\tfrac{\sqrt{2}}{2},{}0\right),(0,{}0,{}1) \right\rbrace,\]
  3. Vektory \(x,y\) jsou kolmé pro \(a\in\lbrace 1,{}4 \rbrace\).
  4. Ortogonální doplňky \[W_1^\perp = \big[ (0,{}1,{}0), (0,{}0,{}1) \big],\] \[W_2^\perp = W_3^\perp = \big[ (0,{}0,{}1) \big].\]