Určíme charakteristický polynom matice (Pozor, jsme nad \(\mathbb{Z}_6\)!)
\[
p(\lambda) = \det(\lambda E + 5A) =
\begin{vmatrix}
\lambda+1 & 2 & 4 \\
0 & \lambda+3 & 2 \\
2 & 3 & \lambda+1
\end{vmatrix}=
\]
Determinant můžeme vypočítat
rozvojem podle prvního sloupce.
\[
= (\lambda + 1)
\begin{vmatrix}
\lambda + 3 & 2 \\
3 & \lambda+1
\end{vmatrix}
+
2\begin{vmatrix}
2 & 4 \\
\lambda+3 & 2
\end{vmatrix}
=
\]
\[
=
(\lambda + 1)\big[(\lambda+3)(\lambda+1) + 0\big]
+2\big[4+2(\lambda+3)\big]
=
\]
\[
=\lambda^3 + 5\lambda^2 + 5\lambda + 5.
\]
Pokusme se charakteristický polynom rozložit. Hledejme kořeny tohoto polynomu
\[
\begin{array}{lllllll}
p(0) & = & 0 + 5{\cdot} 0 + 5{\cdot} 0 + 5 &=& 5 &\neq& 0, \\
p(1) & = & 1 + 5{\cdot} 1 + 5{\cdot} 1 + 5 &=& 4 &\neq& 0, \\
p(2) & = & 2 + 5{\cdot} 4 + 5{\cdot} 2 + 5 &=& 1 &\neq& 0, \\
p(3) & = & 3 + 5{\cdot} 3 + 5{\cdot} 3 + 5 &=& 2 &\neq& 0, \\
p(4) & = & 4 + 5{\cdot} 4 + 5{\cdot} 4 + 5 &=& 1 &\neq& 0, \\
p(5) & = & 5 + 5{\cdot} 1 + 5{\cdot} 5 + 5 &=& 4 &\neq& 0.
\end{array}
\]
Polynom \(p(\lambda)\) je nad \(\mathbb{Z}_6\) ireducibilní (nerozložitelný).
Jak vypadá minimální polynom? Každý ireducibilní polynom, který dělí charakteristický polynom, dělí i polynom minimální, viz věta. Charakteristický polynom je ireducibilní, je proto přímo polynomem minimálním.
\[
m(\lambda) = p(\lambda) = \lambda^3 + 5\lambda^2 + 5\lambda + 5.
\]
Minimální polynom není rozložitelný na lineární faktory. Z tohoto důvodu není matice \(A\) nad \(\mathbb{Z}_6\) dle věty o podobnosti diagonální matici diagonalizovatelná.
