Sbírka řešených úloh

Soustava lineárních rovnic IV.

Úloha číslo: 1395

• Rozbor

  Úlohu budeme řešit analogicky jako Užití Gaussova eliminačního algoritmu. Tj.

  1. Zapíšeme soustavu do rozšířené matice soustavy.
  2. Úpravíme rozšířenou matici soustavy na odstupňovaný tvar.
  3. Rozhodneme o řešitelnosti dle Frobeniovy věty.
  4. Určíme libovolný vektor, který je řešením.
  5. Určíme dimenzi řešení.
  6. Nalezneme řešení homogenní soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.
  7. Zapíšeme množinu všech řešení.

• Nápověda 1 – rozšířená matice soustavy

  Přepište udanou soustavu lineárních rovnic do tvaru rozšířené matice soustavy.

• Řešení nápovědy 1 – rozšířená matice soustavy

  Rozšířenou matici soustavy získáme tak, že k matici soustavy tvořené koeficienty přidáme napravo sloupec pravých stran. \[ \left( \begin{array}{cccccc|c} 5 & 1 & 4 & 0 & 6 & 2 \,&\, 5 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 2 & 3 \,&\, 1 \\ 6 & 4 & 2 & 5 & 0 & 1 \,&\, 4 \\ 0 & 2 & 1 & 6 & 5 & 4 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \]

• Nápověda 2 – úprava na odstupňovaný tvar

  Upravte rozšířenou matici soustavy na odstupňovaný tvar.

• Řešení nápovědy 2 – úprava na odstupňovaný tvar

  Rozšířenou matici soustavy upravíme pomocí Gaussova eliminačního algoritmu na odstupňovaný tvar. \[ \hspace{-0.7em} \left( \begin{array}{cccccc|c} 5 & 1 & 4 & 0 & 6 & 2 \,&\, 5 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 2 & 3 \,&\, 1 \\ 6 & 4 & 2 & 5 & 0 & 1 \,&\, 4 \\ 0 & 2 & 1 & 6 & 5 & 4 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+2I\\ III+2II\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{cccccc|c} 5 & 1 & 4 & 0 & 6 & 2 \,&\, 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \,&\, 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 4 & 0 \,&\, 6 \\ 0 & 2 & 1 & 6 & 5 & 4 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \] Dále již netřeba upravovat! Druhý řádek se nám kromě prvku v sloupci pravých stran vynuloval! Hodnost rozšířené matice soustavy se nerovná hodnosti matice soustavy a dle Frobeniovy věty je soustava neřešitelná!

• Odpověď

  Udaná soustava lineárních rovnic nemá nad tělesem \(\mathbb{Z}_7\) řešení.