Sbírka řešených úloh

Matice přechodu I.

Úloha číslo: 1382

• Rozbor

  Vypočítáním této úlohy zjistíme, že matice přechodu od jedné matice ke druhé není stejná jako matice přechodu od druhé k první.

  Zjistíme také rozdílnost náročnosti hledání matice přechodu

  • od kanonické báze k dané bázi,
  • od dané báze ke kanonické bázi.

  Při řešení budeme na matice přechodu pohlížet jako na matice indentických automorfismů, tj. budeme počítat obdobně jako v úloze Matice přechodu.

• Nápověda – matice přechodu od k.b. k M

  Jaké jsou obrazy vektorů kanonické báze, je-li homomorfismus identický automorfismus?

  Vyjádřete tyto obrazy jako lineární kombinace vektorů báze \(M\). Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\)? Zapiště je dle definice do matice.

• Řešení nápovědy – matice přechodu od k.b. k M

  Obrazy vektorů kanonické báze se při identickém automorfismu \(\bar{1}\) zobrazí sami na sebe. \[ \color{grey}{\mathrm{Předpis:\ } \bar{1}(x,y,z,w) = (x,y,z,w)} \] \[ \begin{eqnarray} \bar{1}(1{,}0,0{,}0)&=&(1{,}0,0{,}0)\\ \bar{1}(0{,}1,0{,}0)&=&(0{,}1,0{,}0)\\ \bar{1}(0{,}0,1{,}0)&=&(1{,}0,1{,}0)\\ \bar{1}(0{,}0,0{,}1)&=&(0{,}0,0{,}1)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem k bázi \(M\) označíme následovně. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(1{,}0,0{,}0)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_1,b_1,c_1)\\ \big\langle(0{,}1,0{,}0)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_2,b_2,c_2)\\ \big\langle(0{,}0,1{,}0)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_3,b_3,c_3)\\ \big\langle(0{,}0,0{,}1)\big\rangle_\mathrm{M}=(a_4,b_4,c_4)\\ \end{eqnarray} \] Souřadnice obrazů vzhledem k bázi \(M\) jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze \(M\) dávající příslušné obrazy. \[ \begin{eqnarray} (1{,}0,0{,}0) = a_1 (4{,}0,2{,}1) + b_1 (1{,}4,1{,}1) + c_1 (2{,}4,1{,}0) + d_1 (3{,}2,1{,}1)\\ (0{,}1,0{,}0) = a_2 (4{,}0,2{,}1) + b_2 (1{,}4,1{,}1) + c_2 (2{,}4,1{,}0) + d_2 (3{,}2,1{,}1)\\ (0{,}0,1{,}0) = a_3 (4{,}0,2{,}1) + b_3 (1{,}4,1{,}1) + c_3 (2{,}4,1{,}0) + d_3 (3{,}2,1{,}1)\\ (0{,}0,0{,}1) = a_4 (4{,}0,2{,}1) + b_4 (1{,}4,1{,}1) + c_4 (2{,}4,1{,}0) + d_4 (3{,}2,1{,}1)\\ \end{eqnarray} \]

  Souřadnice \(a_i, b_i, c_i, d_i\) nalezneme „hromadnou“ metodou.

  \[ \begin{equation} \left.\begin{aligned} &(1{,}0,0{,}0) \\ &(0{,}1,0{,}0) \\ &(0{,}0,1{,}0) \\ &(0{,}0,0{,}1) \\ \end{aligned}\right\} = a_i (4{,}0,2{,}1) + b_i (1{,}4,1{,}1) + c_i (2{,}4,1{,}0) + d_i (3{,}2,1{,}1) \end{equation} \] Ve složkách vektorů dostáváme následující rovnice. \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 4a_i & + & b_i & + & 2c_i & + & 3d_i & = & 1 \,|\, 0 \,|\, 0 \,|\, 0 & \qquad \mathrm{(1)} \\ & & 4b_i & + & 4c_i & + & 2d_i & = & 0 \,|\,1 \,|\, 0 \,|\, 0 & \qquad \mathrm{(2)} \\ 2a_i & + & b_i & + & c_i & + & d_i & = & 0 \,|\, 0 \,|\, 1 \,|\, 0 & \qquad \mathrm{(3)} \\ a_i & + & b_i & & & + & d_i & = & 0 \,|\, 0 \,|\, 0 \,|\, 1 & \qquad \mathrm{(4)} \\ \end{array} \]

  Rovnici s \(i\)-tými indexy náleží jako pravá strana \(i\)-tý „chlíveček“.

  Tuto soustavu snadno vyřešíme. \[ \begin{array}{lrrrrrrr} \mathrm{(1)+(4)}\qquad & 2b_i & + & 2c_i & + & 4d_i & = & 1 \,|\, 0 \,|\, 0 \,|\, 1 & \qquad \mathrm{(5)} \\ \mathrm{2(3)+(4)}\qquad & 3b_i & + & 2c_i & + & 3d_i & = & 0 \,|\,0 \,|\, 2 \,|\, 1 & \qquad \mathrm{(6)} \\ \mathrm{}\qquad & 4b_i & + & 4c_i & + & 2d_i & = & 0 \,|\, 1 \,|\, 0 \,|\, 0 & \qquad \mathrm{(2)} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{lrrrrr} \mathrm{(5)+(6)}\qquad & 4c_i & + & 2d_i & = & 1 \,|\, 0 \,|\, 2 \,|\, 2 & \qquad \mathrm{(7)} \\ \mathrm{2(6)+(2)}\qquad & 3c_i & + & 3d_i & = & 0 \,|\,1 \,|\, 4 \,|\, 2 & \qquad \mathrm{(8)} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{lrrr} \mathrm{(7)+(8)}\qquad & 2c_i & = & 1 \,|\, 1 \,|\, 1 \,|\, 4 & \qquad \mathrm{(9)} \\ \end{array} \] Dopočítáme všechny neznámé \(a_i,b_i,c_i,d_i\). \[ \begin{array}{lrclccl} \mathrm{Z\ (9)}& 2c_i& = & 1 \,|\, 1 \,|\, 1 \,|\, 4 &\quad\Rightarrow\quad & c_i = 3 \,|\, 3 \,|\, 3 \,|\, 2 \\ \mathrm{Z\ (7)}& 2d_i& = & c_i + 1 \,|\, 0 \,|\, 2 \,|\, 2 & \quad\Rightarrow\quad & d_i = 2 \,|\, 4 \,|\, 0 \,|\, 2 \\ \mathrm{Z\ (5)}& 2b_i& = & 3c_i + d_i + 1 \,|\, 0 \,|\, 0 \,|\, 1 & \quad\Rightarrow\quad & b_i = 1 \,|\, 4 \,|\, 2 \,|\, 2 \\ \mathrm{Z\ (4)}& a_i& = & 4b_i + 4d_i + 0 \,|\, 0 \,|\, 0 \,|\, 1 & \quad\Rightarrow\quad & a_i = 2 \,|\, 2 \,|\, 3 \,|\, 2 \\ \end{array} \] Nalezené souřadnice poklademe na příslušné pozice matice dle definice.
  Matice identického automorfismu \(\bar{1}\) vzhledem ke kanonické bázi a bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}. \] Tato matice představuje matici přechodu od kanonické báze k bázi \(M\).

• Nápověda – matice přechodu od M ke k.b.

  Jaké jsou obrazy vektorů báze \(M\), je-li homomorfismus identický automorfismus?

  Jaké jsou souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi? Zapiště je dle definice do matice.

• Řešení nápovědy – matice přechodu od M ke k.b.

  Obrazy vektorů báze \(M\) se při identickém automorfismu \(\bar{1}\) zobrazí sami na sebe. \[ \color{grey}{\mathrm{Předpis:\ } \bar{1}(x,y,z,w) = (x,y,z,w)} \] \[ \begin{eqnarray} \bar{1}(4{,}0,2{,}1)&=&(4{,}0,2{,}1)\\ \bar{1}(1{,}4,1{,}1)&=&(1{,}4,1{,}1)\\ \bar{1}(2{,}4,1{,}0)&=&(2{,}4,1{,}0)\\ \bar{1}(3{,}2,1{,}1)&=&(3{,}2,1{,}1)\\ \end{eqnarray} \] Hledané souřadnice těchto obrazů vzhledem ke kanonické bázi jsou přímo složky vektorů. \[ \begin{eqnarray} \big\langle(4{,}0,2{,}1)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(4{,}0,2{,}1)\\ \big\langle(1{,}4,1{,}1)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(1{,}4,1{,}1)\\ \big\langle(2{,}4,1{,}0)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(2{,}4,1{,}0)\\ \big\langle(3{,}2,1{,}1)\big\rangle_\mathrm{k.b.}=(3{,}2,1{,}1)\\ \end{eqnarray} \] Nalezené souřadnice poklademe na příslušné pozice matice dle definice.
  Matice identického automorfismu \(\bar{1}\) vzhledem k bázi \(M\) a kanonické bázi je \[ B= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \] Tato matice představuje matici přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi.

• Odpověď

  • Matice přechodu od kanonické báze k bázi \(M\) je \[ A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}. \]
  • Matice přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi je \[ B= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \]

  Zjistili jsme, že výpočet matice přechodu od dané báze ke kanonické bázi je výpočetně mnohem snazší než od kanonické báze k dané bázi.

• Poznámka

  V případě výpočtu matice přechodu od dané báze ke kanonické bázi jsme totiž neudělali nic jiného, než že jsme napsali vektory dané báze do sloupců matice. Proto se tyto speciální matice přechodu hojně využívají ve složitějších výpočet, kde je jejich časová nenáročnost velkou výhodou.