Sbírka řešených úloh

Homomorfismus IV.

Úloha číslo: 1375

• Rozbor

  Máme-li nalézt předpis homomorfismu a jsou dány vektory a jejich obrazy, musíme nejprve ověřit, zda-li jsme schopni předpis rekonstruovat. Množina vzorů musí být lineárně nezávislá, aby tvořila bázi. Bude-li totiž množina bází, bude možné libovolný vektor prostoru zapsat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci jejich vektorů. Toho se při řešení využívá.

  Jádro, obraz, hodnost, defekt a typ homomorfismu nalezneme analogicky jako v úlohách

  • Homomorfismus,
  • Homomorfismus I.,
  • Homomorfismus II.,
  • Homomorfismus III..

• Nápověda 1 – předpis homomorfismu

  Nejprve ověřte, zda je množina vzorů \(\big\{(1{,}1,1),(1{,}2,1),(1{,}1,2)\big\} \) lineárně nezávislá a tedy jestli tvoří bázi.

  V kladném případě vyjádřete libovolný vektor \((x,y,z) \in \mathbb{R}^3\) jako lineární kombinaci vektorů báze s koeficienty \(a,b,c\). Pravou i levou stranu rovnice nahraďte obrazy. Ze vzniklé soustavy vyjádřete neznámé koeficienty lineární kombinace \(a,b,c\) pomocí složek libovolného vektoru \(x,y,z\).

• Řešení nápovědy 1 – předpis homomorfismu

  Ověříme, zda je množina vzorů \(\big\{(1{,}1,1),(1{,}2,1),(1{,}1,2)\big\} \) lineárně nezávislá. \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{array} \phantom{}\\ II-I\\ III-I\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Množina je lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru \(\mathbb{R}^3\). Proto lze každý vektor \((x,y,z)\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) zapsat právě jediným způsobem jako jejich lineární kombinaci s koeficienty \(a,b,c\in\mathbb{R},\) tj. \[ (x,y,z) = a\cdot(1{,}1,1) + b\cdot(1{,}2,1) + c\cdot(1{,}1,2). \tag{1}\] Levou i pravou stranu rovnice nahradíme jejich obrazy \[ f(x,y,z) = f\bigg(a\cdot(1{,}1,1) + b\cdot(1{,}2,1) + c\cdot(1{,}1,2)\bigg). \] Neboť je \(f\) homomorfismus, můžeme obraz součtu na pravé straně přepsat na součet obrazů (vlastnost (i) homomorfismu). Následně nahradíme obrazy násobku násobky jejich obrazů (vlastnost (ii) homomorfismu). \[ \begin{eqnarray} f(x,y,z) &=& f\big(a\cdot(1{,}1,1)\big) +f\big(b\cdot(1{,}2,1)\big) + f\big(c\cdot(1{,}1,2)\big)\\ f(x,y,z) &=& a\cdot f(1{,}1,1) +b\cdot f(1{,}2,1) + c\cdot f(1{,}1,2)\\ \end{eqnarray} \] Obrazy vektorů báze na prvé straně však známe. Dosaďme je! \[ f(x,y,z) = a\cdot(0{,}1,2{,}2) + b\cdot(1{,}2,0,-1) + c\cdot(2{,}0,2{,}1). \tag{2}\] A máme náznak předpisu homomorfismu. Ještě je ale třeba vyjádřit koeficienty \(a,b,c\) pomocí složek vektoru \(x,y,z\). K tomu využijeme vektorovou rovnici (1), která dává pro složky tři rovnice. \[ \begin{array}{l} x = a + \phantom{2} b + \phantom{2}c \\ y = a + 2b + \phantom{0}c \\ z = a + \phantom{2}b + 2c \\ \end{array} \] Odtud snadno získáme vyjádření \[ \begin{array}{l} b = -x+y \\ c = z-x \\ a = 3x-y-z, \\ \end{array} \] které dosadíme do rovnice (2) a upravíme do tradičního tvaru. \[ \begin{eqnarray} f(x,y,z) = &(3x-y-z)\cdot\big(0{,}1,2{,}2\big)\ +& \\ &+\ (-x+y)\cdot\big(1{,}2,0,-1\big)\ +&\\ &+\ (z-x)\cdot\big(2{,}0,2{,}1\big)\ =&\\ \ \\ &=\big(-x+y+2z-2x,\\ & 3x-y-z-2x+2y, \\ & 6x-2y-2z+2z-2x, \\ & 6x-2y-2z+x-y+z-x \big)=\\ \ \\ &= (-3x+y+2z,x+y-z,4x-2y,6x-3y-z)\\ \end{eqnarray} \] Získali jsme předpis homomorfismu \(f\) \[ f(x,y,z) = (-3x+y+2z,x+y-z,4x-2y,6x-3y-z). \]

• Nápověda 2 – jádro a defekt homomorfismu

  Jádro homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in \mathbb{R}^3;~f(u) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), které se zobrazí na nulový vektor.

  Položte právě získaný předpis homomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro. Jaký je defekt homomorfismu?

• Řešení nápovědy 2 – jádro a defekt homomorfismu

  Pro nalezení jádra homomorfismu \(f\) položíme jeho předpis roven nulovému vektoru.

  \[ f(x,y,z) = (-3x+y+2z,x+y-z,4x-2y,6x-3y-z) = (0{,}0,0{,}0). \] Tato vektorová rovnice nám dává soustavu čtyř rovnic o třech neznámých. \[ \begin{array}{rrrrrrrr} -3x & + & y & + & 2z & = & 0 & \qquad \mathrm{(1)}\\ x & + & y & - & z & = & 0 & \qquad \mathrm{(2)}\\ 4x & - & 2y & & & = & 0 & \qquad \mathrm{(3)} \\ 6x & - & 3y & - & z & = & 0 & \qquad \mathrm{(4)} \\ \end{array} \] Soustavu vyřešíme například užitím matice. \[ \begin{array}{l} \downarrow\\ \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \end{array} \left( \begin{array}{rrr|c} -3 & 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0\\ 4 & -2 & 0 & 0\\ 6 & -3 & -1 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{i}\\ \uparrow\\ \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ -3 & 1 & 2 & 0\\ 4 & -2 & 0 & 0\\ 6 & -3 & -1 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+3I\\ III-4I\\ IV-6I\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 4 & -1 & 0\\ 0 & -6 & 4 & 0\\ 0 & -9 & 5 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III/2\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 4 & -1 & 0\\ 0 & -3 & 2 & 0\\ 0 & -9 & 5 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 4III+3II\\ IV - 3III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 4 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 11 & 0\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ 5IV-11III\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 4 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \]

  Soustava má pouze triviální nulové řešení \((0{,}0,0{,}0)\).
  Homomorfismus má nulové jádro.

  \[ \mathrm{Ker\,}f = 0 \] A proto je jeho defekt \[d(f) = \mathrm{dim\,Ker\,}f = 0.\]

• Nápověda 3 – obraz a hodnost homomorfismu

  Obraz homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{v\in \mathbb{R}^4,~\exists u\in \mathbb{R}^3:~f(u) = v \big\}. \]

  Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^4\), na které se „něco“ zobrazí.

  • K určení obrazu homomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
  • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
  • Obraz homomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.
  • Jak se určí hodnost homomorfismu?

• Řešení nápovědy 3 – obraz a hodnost homomorfismu

  Užijeme větu o obrazu množiny generátorů, která říká, že obrazem množiny generátorů prostoru ze kterého zobrazujeme je množina generátorů prostoru do kterého zobrazujeme.

  Jako množinu generátorů prostoru \(\mathbb{R}^3\) zvolíme pro jednoduchost kanonickou bázi \[\big\{ (1{,}0,0),(0{,}1,0),(0{,}0,1)\big\}.\]

  Vektorům báze určíme obrazy jejich dosazením do předpisu homomorfismu \(f\).

  \[\color{grey}{\mathrm{Předpis}\quad f(x,y,z)=(−3x+y+2z,x+y−z,4x−2y,6x−3y−z).}\] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}0,0) &=& (-3{,}1,4{,}6) \\ f(0{,}1,0) &=& (1{,}1,-2,-3) \\ f(0{,}0,1) &=& (2,-1{,}0,-1) \\ \end{eqnarray} \] Nyní by již bylo možné napsat odpověď \[ \mathrm{Im\,}f = \big[(-3{,}1,4{,}6),(1{,}1,-2,-3),(2,-1{,}0,-1) \big], \]

  to ale dělat nebudeme. Množina vektorů by totiž mohla být lineárně závislá a měli bychom v závorkách nějaký vektor zbytečně navíc.

  Nalezněme proto lineárně nezávislou množinu generátorů – tedy bázi, obrazu.

  \[ \left( \begin{array}{rrrr} -3 & 1 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & -2 & -3 \\ 2 & -1 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ 3II + I\\ III - 2II\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrrr} -3 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & -2 & -3 \\ 0 & -3 & 4 & 5 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 4III+3II\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrrr} -3 & 1 & 4 & 6 \\ 0 & 4 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 10 & 11 \\ \end{array} \right) \]

  Množina je již lineárně nezávislá a tvoří bázi obrazu homomorfismu.

  \[\mathrm{Im\,}f = \big[(-3{,}1,4{,}6),(0{,}4,-2,-3),(0{,}0,10{,}11) \big]\] Hodnost homomorfismu určíme jako dimenzi obrazu, tj. \[ r(f) = \mathrm{dim\,Im\,}f = 3. \]

• Nápověda 4 – typ homomorfismu

  Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem? Izomorfismem?

  Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

  Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem?

• Řešení nápovědy 4 – typ homomorfismu

  Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem?

  Jádro homomorfismu \(f\) je nulové.
  Dle věty o jádru a monomorfismu je homomorfismus monomorfismem.

  Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

  Homomorfismus je mezi různými prostory a proto není endomorfismem a tudíž ani automorfismem.

  Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem? Izomorfismem?

  Dimenze obrazu je \(3\) zatímco prostor do kterého \(f\) zobrazuje je dimenze \(4\). Homomorfismus \(f\) tedy není epimorfismus a tedy ani izomorfismus.

• Odpověď

  Předpis homomorfismu \(f\) je \[ f(x,y,z)=(−3x+y+2z,x+y−z,4x−2y,6x−3y−z). \]

  • \(\mathrm{Ker\,}f = 0,\ d(f)=0\).
  • \(\mathrm{Im\,}f = \left[(-3{,}1,4{,}6),(0{,}4,-2,-3),(0{,}0,10{,}11) \right],\ r(f) = 3\).
  • Homomorfismus \(f\) je monomorfismem.