Sbírka řešených úloh

Vektorový prostor II.

Úloha číslo: 1356

• Nápověda 0 – „uzavřenost“ na operace

  Aby množina \(V\) byla vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\), je třeba aby součet libovolných dvou vektorů dal opět vektor množiny \(V\), z množiny \(V\) musí být i výsledek násobení libovolného reálného čísla a libovolného vektoru množiny \(V\).

  Ověřte!

• Řešení nápovědy 0 – „uzavřenost“ na operace

  Uvažujme dva libovolné polynomy \(p_1(x),~p_2(x)\), které jsou prvky množiny \(V\). Dále mějme polynom \(p_{12}(x) = p_1(x) + p_2(x)\), který je jejich součtem.

  Pro polynomy \(p_1(x),~p_2(x)\) platí

  \[8p_1(0) + 6p_1(1) = 0,\] \[8p_2(0) + 6p_2(1) = 0.\] Sečtením obou rovnic a vytknutím získáme \[8\big[p_1(0) + p_2(0)\big] + 6\big[p_1(1) + p_2(1)\big] = 0.\] Tj. \[8p_{12}(0) + 6p_{12}(1) = 0,\]

  tedy že polynom \(p_{12}(x)\), což je součet libovolných dvou polynomů množiny \(V\),
  je opět prvkem této množiny. Tím jsme dokázali uzavřenost sčítání vektorů.

  ---

  Uvažujme libovolný polynom \(p(x)\) množiny \(V\) a libovolný prvek \(a\) z pole \(\mathbb{R}\).

  Pro polynom platí

  \[8p(0) + 6p(1) = 0.\] Vynásobíme celou rovnici \(a\) \[8ap(0) + 6ap(1) = 0.\] Označíme-li polynom \(ap(x)=p^\prime(x)\), získáme \[8p^\prime(0) + 6p^\prime(1) = 0.\] Polynom \(p^\prime(x)\), který představuje libovolný násobek libovolného polynomu množiny \(V\) je opět prvkem této množiny.
  Tím jsme dokázali uzvařenost na násobení skalárem.

• Nápověda 1 – asociativní zákon

  Ověříme platnost axiomů. Prověřte, zda-li platí první axiom \[\forall\,p_{1{,}2,3}(x) \in V:~ \big[p_1(x)+p_2(x)\big]+p_3(x) = p_1(x) + \big[p_2(x)+p_3(x)\big].\]

• Řešení nápovědy 1 – asociativní zákon

  Polynomy \(p_1(x),\,p_2(x)\) a \(p_3(x) \) lze obecně psát jako \[p_1(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0,\] \[p_2(x) = b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0,\] \[p_3(x) = c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + c_0,\]

  kde \(n\) je stupeň nejvyššího polynomu.

  Levá strana formulky axiomu je tedy

  \[\big[p_1(x) + p_2(x)\big] + p_3(x)=\] \[ = \left[a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0 +\right. \] \[\left.+ b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0 \right]+ \] \[ + c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + c_0 = \]

  Polynom je tvořen součtem násobků mocnin neznámé \(x\). Operace součet uvnitř polynomu je binární operací. Hranaté závorky lze tedy na základě asociativity sčítání uvnitř polynomu „přemístit“.

  \[ = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0 + \] \[\left[+ b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0 \right.+ \] \[ \left.+ c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + c_0 \right] = \] \[=p_1(x) + \big[p_2(x)+p_3(x)\big].\]

  Získali jsme pravou stranu axiomu. Sčítání polynomů je tedy asociativní.

• Nápověda 2 – komutativní zákon

  Prověřte, zda-li platí druhý axiom \[\forall\,p_1(x), p_2(x) \in V:\quad p_1(x)+p_2(x) = p_2(x) + p_1(x).\]

• Řešení nápovědy 2 – komutativní zákon

  Polynomy \(p_1(x),~p_2(x)\) lze obecně psát jako \[p_1(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0,\] \[p_2(x) = b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0.\]

  Dosaďme tato vyjádření do levé strany formulky axiomu

  \[p_1(x)+p_2(x) =\] \[=a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0 +\] \[+ b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0=\]

  Ponynom je tvořen součtem násobků mocnin neznámé \(x\). Toto sčítání uvnitř polynomu je binární operací a je tedy komutativní. Díky komutativitě

  \[=b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0 + \] \[ +a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0= \] \[ =p_2(x) +p_1(x). \]

  Dostali jsme pravou stranu formulky axiomu. Sčítání polynomů je komutativní.

• Nápověda 3 – existence nulového polynomu

  Prověřte, zda-li platí třetí axiom \[\exists o(x)\in V\quad\forall p(x)\in V: \qquad o(x) + p(x) = p(x).\]

  Tj. existuje nějaký nulový polynom \(o\) ve \(V\), takový, že přičtu-li tento nulový polynom k libovolnému polynomu množiny \(V\), získám tentýž polynom?

• Řešení nápovědy 3 – existence nulového polynomu

  Označme hledaný nulový polynom množiny \(V\) jako \(\bar{o}(x)\).

  Pro všechny polynomy \(p(x)\) množiny \(V\) by mělo

  \[\bar{o}(x) + p(x) = p(x).\]

  Aby tato formulka platila pro všechny polynymy z množiny \(V\) muselo by

  \[\bar{o}(x) = 0.\]

  V množině \(V\) jsou všechny polynomy pro které je \( 8p(0) + 6p(1) = 0\).
  Ověřme, je-li nulový vektor v množině \(V\) obsažen.

  \[8\bar{o}(0) + 6 \bar{o}(1) = 8{\cdot} 0 + 6 {\cdot} 0 = 0\]

  Množina \(V\) obsahuje nulový polynom. Nulovým polynom je \(\bar{o}(x) = 0\).

• Nápověda 4 - existence opačných polynomů

  Prověřte, zda-li platí čtvrtý axiom \[\forall p(x) \in V~~\exists \left[-\bar{p}(x)\right] \in V: \quad p(x) + \left[-\bar{p}(x)\right] = \bar{o}(x) = 0.\]

  Tj. existuje pro každý polynom \(p(x)\) množiny \(V\) opačný polynom \(\left[-\bar{p}(x)\right]\), tavový, že součet polynomu a jeho opačného polynomu dává nulový polynom?

• Řešení nápovědy 4 – existence opačných polynomů

  Uvažujme libovolný polynom \(p(x)\) množiny \(V\). Hledáme pro něj polynom \(\left[-\bar{p}(x)\right]\) tak aby \[ p(x) + \left[-\bar{p}(x)\right] = 0.\] Aby byla rovnost splněna, pak musí \[\left[-\bar{p}(x)\right] = - p(x).\] Napíšeme-li polynom \(p(x)\) ve tvaru \[p(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0,\] bude k němu opačný polonym \[\left[-\bar{p}(x)\right] = -p(x) = (-a_{n}) x^{n} + (-a_{n-1}) x^{n - 1} + ~\dots~+ (-a_1) x + (-a_0). \] Ověřme ještě, zda-li je opačný polynom obsažen v množině \(V\). Polynom \(p(x)\) patří do množiny \(V\), tj. \[8p(x) + 6p(x) = 0.\] Vynásobíme-li rovnici \((-1)\), získáme \[-8p(x) - 6p(x) = 0.\] Provedeme-li jednoduchou úpravu, \[8(-p(x)) + 6(-p(x)) = 0\] a uvědomíme-li si, že \(-p(x) = \left[-\bar{p}(x)\right],\) \[8\left[-\bar{p}(x)\right] + 6\left[-\bar{p}(x)\right] = 0\] zjistíme, že opačný polynom \(\left[-\bar{p}(x)\right]\) k libovolnému polynomu \(p(x)\) množiny \(V\) je prvkem množiny \(V.\) Ke každému polynomy existuje ve \(V\) opačný polynom.

• Nápověda 5 – násobení součtů polynomů, skalárů

  Prověřte, zda-li platí patý a šestý axiom \[ \begin{array}{ll} \forall a\in \mathbb{R}~~~\forall p_1(x),~p_2(x) \in V: & \quad a\cdot\left[p_1(x)+p_2(x)\right] = a\cdot p_1(x) + a\cdot p_2(x)\\ &\mathrm{Násobení}~(\cdot)~\mathrm{součtu~polynomů~skalárem}\\ \forall a,b \in \mathbb{R}~~~\forall p(x) \in V: & \quad (a+b)\cdot p(x) = a\cdot p(x) + b\cdot p(x)\\ &\mathrm{Násobení}~(\cdot)~\mathrm{polynomu~součtem~skalárů} \end{array} \]

• Řešení nápovědy 5 – násobení součtů polynomů, skalárů

  Ověřme platnost axiomu (v) násobení součtu polynomů skalárem.

  Uvažujme polynomy \(p_1(x),~p_2(x)\) ve tvaru

  \[p_1(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0,\] \[p_2(x) = b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0.\] Dosaďme tato vyjádření do levé strany axiomu a upravujme \[ a\cdot\big[p_1(x)+p_2(x)\big]= \] \[ = a \cdot (a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0 + \] \[ + b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0) = \] \[ = a\cdot(a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0) + \] \[ + a\cdot (b_{n} x^{n} + b_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ b_1 x + b_0) = \] \[ = a\cdot p_1(x) + a\cdot p_2(x). \]

  Dostali jsme pravou stranu axiomu. Axiom (v) platí.

  ---

  Ověřme platnost axiomu (vi) násobení polynomu součtem skalárů.

  Uvažujme polynom \(p(x)\) ve tvaru

  \[p(x) = c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + c_0.\] Dosaďme toto vyjádření do levé strany axiomu a upravujme \[ (a+b)\cdot p(x)= \] \[ = (a+b)(c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + c_0)= \] \[ =a (c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + c_0)+ \] \[ + b(c_{n} x^{n} + c_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ c_1 x + c_0)= \] \[ a\cdot p(x) + b\cdot p(x). \]

  Dostali jsme pravou stranu axiomu. Axiom (vi) platí.

• Nápověda 6 – násobení polynomu součinem skalárů

  Prověřte, zda-li platí sedmý axiom \[ \forall a,b \in \mathbb{R}\quad\forall p(x) \in V: \qquad (a\ast b)\cdot p(x)= a \cdot \big[b\cdot p(x)\big]. \]

• Řešení nápovědy 6 – násobení polynomu součinem skalárů

  Uvažujme polynom \(p(x)\) ve tvaru

  \[p(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0.\] Dosaďme toto vyjádření do levé strany axiomu a upravujme \[ (a\ast b)\cdot p(x)=(a\ast b)(a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0)= \] \[ =a\cdot \left[b\cdot(a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n - 1} + ~\dots~+ a_1 x + a_0)\right] =a\cdot \big[b\cdot p(x)\big]. \]

  Dostali jsme pravou stranu axiomu. Axiom (vii) platí.

• Nápověda 7 – existence jednotkového prvku

  Prověřte, zda-li platí osmý axiom \[ \forall p(x) \in V: \quad \bar{1}\cdot x = x. \]

• Řešení nápovědy 7 – existence jednotkového prvku

  Axiom ve své podstatě nastavuje požadavek na existenci jednotkového prvku v uvažovaném poli \(T\).

  V tomto případě je polem komutativní těleso reálných čísel \(\mathbb{R}.\)

  Platí tedy

  \[\forall p(x) \in V: \qquad 1\cdot p(x) = p(x), \] neboť \[\exists \bar{1} \in \mathbb{R}, \quad \bar{1} = 1, \quad 1\in\mathbb{R}.\]

  Axiom (viii) platí.

• Odpověď

  Množina polynomů

  \[V = \big\{ p(x);\, 8p(0) + 6p(1) = 0\big\}\]

  je vektorovým prostorem nad tělesem \(\mathbb{R}\).