Sbírka řešených úloh

Determinant Gaussovou eliminací I.

Úloha číslo: 1343

• Rozbor

  Veškerá potřebná teorie pro výpočet je obsažena v úloze Jak na determinanty.

  Této metody využíváme především v případě, kdy počítáme determinant čtvercové matice řádu \(4\) a více.

  Determinant matice upravené na trojúhelníkový tvar je určen součinem prvků na hlavní diagonále.

• Nápověda

  Matici upravte na horní trojúhelníkovou pomocí Gaussovy eleminace. Nezapomeňte, že úpravy prohození řádků, či jejich přenásobení znamenají změnu determinantu, kterou je nutno zohlednit.

  Nakonec si uvědomte, že pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant je určen součinem prvků na hlavní diagonále.

• Řešení nápovědy

  Provedeme úpravu na horní trojúhelníkový tvar. Při úpravách jsme obezřetní, aby nedošlo ke změně determinantu. \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II - 2I\\ III - I\\ IV - I\\ \end{array} = \begin{array}{r} \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \color{maroon}{\uparrow}\\ \end{array} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & -3 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \color{maroon}{\downarrow}\\ \phantom{IV}\\ \end{array}= \] \[ =\color{maroon}{-1}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -3 & -1 & 0 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV - 3II+III\\ \end{array} =\begin{vmatrix} -1 & -2 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \]

  Matice je nyní v horním trojúhelníkovém tvaru, determinant tedy určíme jako součin prvků na hlavní diagonále

  \[D=(-1)\cdot 1 \cdot (-1) \cdot 0 =0.\]

• Odpověď

  Determinant matice nad \(\mathbb{R}\) je \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}= 0. \]