Součet matic I.
Úloha číslo: 1304
Určete součet \(A+B\) matic \(A,B\) nad tělesem \(\mathbb{R}\).
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 5 & -9 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -2 & -3 & -9 \\ 4 & 0 & -5 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \]Rozbor
Budeme postupovat podle definice součtu matic.
Kdykoli máme určit součet dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice stejného typu \(m\times n\). V opačném případě není možné matice sčítat.
Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je sčítání komutativní a asociativní. V důsledku toho je sčítání matic rovněž komutativní a asociativní. Těchto vlastností můžeme využívat a matice sčítat v libovolném pořadí.
Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.
Nápověda 1 – proveditelnost součtu
Ověřte z definice součtu matic, zda je možné uvedené matice sečíst.
Nápověda 2 – součet matic
Zadané matice nyní dle definice součtu matic sečtěte.
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
\[A+B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 5 & -9 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 2 \\ -2 & -3 & -9 \\ 4 & 0 & -5 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right)=\] \[=\left(\begin{array}{rrr} 1+0 & 2-1 & 3+2 \\ -2-2 & 5-3 & -9-9 \\ 4+4 & 1+0 & -2-5 \\ 1+3 & 2+2 & -2+0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ -4 & 2 & -18 \\ 8 & 1 & -7 \\ 4 & 4 & -2 \end{array}\right)\]Odpověď
Součtem matic \(A,B\) je matice \[ \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ -4 & 2 & -18 \\ 8 & 1 & -7 \\ 4 & 4 & -2 \end{array}\right). \]
