Sbírka řešených úloh

Částice v jámě 1

Úloha číslo: 683

• Nápověda k a)

  Jak závisí energie E_n částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L na kvantovém čísle n?

• Řešení nápovědy k a)

  Energie E_n částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L závisí na kvantovém čísle n kvadraticky, E_n ~ n².

  (Podrobné odvození najdete v úloze Symetrická nekonečná pravoúhlá jáma této sbírky.)

• Řešení a)

  Energie E_n částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L závisí na kvantovém čísle n kvadraticky, E_n ~ n², je proto E₄ = 16 E₁, odkud

  $$E_1=\frac{1}{16}\,E_4=\frac{2\,000\ \mbox{keV}}{16}=125\ \mbox{keV} .$$

• Nápověda k b)

  Jak závisí energie E_n na hmotnosti částice, šířce jámy a dalších parametrech?

  Jaká je hmotnost protonu?

• Řešení nápovědy k b)

  Energie částice o hmotnosti m ve stavu s kvantovým číslem n v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L je $$E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} .$$

  Klidová hmotnost protonu je rovna m_p = 1,673·10⁻²⁷ kg.

• Řešení b)

  Energie částice o hmotnosti m ve stavu s kvantovým číslem n v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L je $$E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} .$$

  V případě protonu ve stavu s kvantovým číslem n = 4 je

  $$E_4=\frac{16 \pi^2 \hbar^2}{2m_p L^2} ,$$

  odkud vyjádříme šířku jámy L

  $$L=\sqrt{\frac{8\pi^2 \hbar^2}{m_p E_4}}=\sqrt{\frac{\,2(2\pi \hbar)^2}{m_p E_4}}=\sqrt{\frac{2h^2}{m_p E_4}} ,$$ $$L=\sqrt{\frac{2\,\cdot\,\left(6{,}626\,\cdot\,10^{-34}\right)^2}{1{,}673\,\cdot\,10^{-27}\,\cdot\,2\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-13}}}\ \mbox{m}=\frac{6{,}626}{\sqrt{1{,}673\,\cdot\,1{,}602}}\,10^{-14}\ \mbox{m}\,\dot{=}\,4{,}05\,\cdot\,10^{-14}\ \mbox{m}\,.$$

• Odpovědi

  a) Energie této částice v základním stavu by byla 125 keV.

  b) Šířka jámy je přibližně 4,05·10⁻¹⁴ m, což řádově odpovídá rozměrům jádra některých těžších prvků.

• Odkaz

  Podobný problém se řeší také v úloze Částice v jámě 2 této sbírky.