Částice v jámě 1
Úloha číslo: 683
Částice s energií 2 000 keV se nachází v jednorozměrné nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě. Víme, že je ve třetím excitovaném stavu (tj. n = 4).
a) Určete energii této částice v základním stavu.
b) Předpokládejte, že se jedná o proton. Jaká je šířka jámy?
Nápověda k a)
Jak závisí energie En částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky L na kvantovém čísle n?
Řešení a)
Energie En částice o hmotnosti m v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L závisí na kvantovém čísle n kvadraticky, En ~ n2, je proto E4 = 16 E1, odkud
\[E_1=\frac{1}{16}\,E_4=\frac{2\,000\ \mbox{keV}}{16}=125\ \mbox{keV} .\]Nápověda k b)
Jak závisí energie En na hmotnosti částice, šířce jámy a dalších parametrech?
Jaká je hmotnost protonu?
Řešení b)
Energie částice o hmotnosti m ve stavu s kvantovým číslem n v nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámě šířky L je \[E_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} .\]
V případě protonu ve stavu s kvantovým číslem n = 4 je
\[E_4=\frac{16 \pi^2 \hbar^2}{2m_p L^2} ,\]odkud vyjádříme šířku jámy L
\[L=\sqrt{\frac{8\pi^2 \hbar^2}{m_p E_4}}=\sqrt{\frac{\,2(2\pi \hbar)^2}{m_p E_4}}=\sqrt{\frac{2h^2}{m_p E_4}} ,\] \[L=\sqrt{\frac{2\,\cdot\,\left(6{,}626\,\cdot\,10^{-34}\right)^2}{1{,}673\,\cdot\,10^{-27}\,\cdot\,2\,\cdot\,1{,}602\,\cdot\,10^{-13}}}\ \mbox{m}=\frac{6{,}626}{\sqrt{1{,}673\,\cdot\,1{,}602}}\,10^{-14}\ \mbox{m}\,\dot{=}\,4{,}05\,\cdot\,10^{-14}\ \mbox{m}\,.\]Odpovědi
a) Energie této částice v základním stavu by byla 125 keV.
b) Šířka jámy je přibližně 4,05·10−14 m, což řádově odpovídá rozměrům jádra některých těžších prvků.
Odkaz
Podobný problém se řeší také v úloze Částice v jámě 2 této sbírky.
