Sbírka řešených úloh

První excitovaný stav

Úloha číslo: 670

• Teoretický úvod

  Elektron v atomu vodíku je k jádru vázán pouze tehdy, když je jeho celková energie menší než nula. V opačném případě jde o elektron volný. Z řešení Schrödingerovy rovnice vyplývá za podmínek kladených na vlnovou funkci ψ energie kvantovaná následujícím způsobem:

  \[E_n = -\frac{1}{n^2}\,\frac{me^4}{8\epsilon_0^2 h^2} = -\frac{R}{n^2} , \]

  kde R = 13,6 eV se nazývá Rydbergova energie.

  Stav s energií E₁ se nazývá základní a má nejnižší možnou energii (nejvyšší vazbovou energii), proto je nejstabilnější. Ostatní stavy nazýváme excitované a elektron se do nich může dostat absorpcí vhodného kvanta energie. Tyto stavy jsou ovšem nestabilní a elektron má tendenci přecházet z nich do stavů nižších, resp. až do stavu základního.

• Řešení

  Stavu s kvantovým číslem n přísluší energie \[ E_n = -\frac{R}{n^2} .\]

  Prvnímu excitovanému stavu, tj,. stavu s kvantovým číslem n = 2, přísluší energie

  \[E_2=-\frac{R}{2^2}=-\frac{13{,}6}{4} \,\mbox{eV}=-3{,}4 \ \mbox{eV} .\]

   

  Při přechodu z prvního excitovaného do základního stavu vyzáří elektron v atomu vodíku energii, která je rovna rozdílu energetických hladin s kvantovými čísly n = 2 a n = 1:

  \[\Delta E = E_2 - E_1 = (-3{,}4+13{,}6) \ \mbox{eV}=10{,}2 \ \mbox{eV} .\]

   

  Mezi kvantem energie ΔE a vlnovou délkou λ odpovídajícího záření platí vztah

  \[\Delta E = \frac{hc}{\lambda} .\]

  Odtud dostáváme

  \[\lambda = \frac{hc}{\Delta E}\]

  a po dosazení číselných hodnot

  \[\lambda=\frac{6{,}626{\cdot} 10^{-34}\,\mbox{J s} \ \cdot\ 3{\cdot} 10^8 \,\mbox{m s}^{-1}}{10{,}2\,\cdot\, 1{,}602{\cdot} 10^{-19} \,\mbox{J}}=1{,}22{\cdot} 10^{-7}\ \mbox{m}=122\ \mbox{nm} .\]

  Takováto vlnová délka odpovídá dalekému ultrafialovému záření, proto nemá smysl mluvit o jeho barvě.

• Odpověď

  Energie prvního excitovaného stavu elektronu v atomu vodíku je −3,4 eV.

  Při přechodu z prvního excitovaného do základního stavu vyzáří elektron v atomu vodíku energii 10,2 eV.

  Pozorovaná spektrální čára odpovídá ultrafialovému záření o vlnové délce 122 nm.

• Komentář

  V nejrůznějších chemicko-fyzikálních tabulkách nebo i na anglické wikipedii můžete najít, že ionizační energie (tj. rozdíl mezi nulovou hladinou energie a nejnižší hladinou energie elektronu v atomu vodíku E₁, která je záporná) vodíku je 1312 kJ·mol⁻¹. Po vydělení Avogadrovou konstantou N_A = 6,022·10²³ mol⁻¹ dostaneme právě energii 21,787·10⁻¹⁹ J = 13,6 eV.