Sbírka řešených úloh

Lineární kombinace vlastních stavů L² a L_z

Úloha číslo: 4365

• Nápověda 1

  Připomeňte si, jak lze určit střední hodnotu veličiny \(F\) ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí \(\psi\).

• Řešení nápovědy 1

  Střední hodnotu veličiny \(F\) ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí \(\psi\) lze určit pomocí vztahu \[\langle F \rangle_{\psi} = \left \langle \psi \, \Big | \, \hat F \psi \right \rangle = \psi^{\dagger} \hat F \psi \, ,\] kde \(\hat F\) je operátor příslušející veličině \(F\) a křížek značí hermitovsky sdruženou matici, tj. matici transponovanou a komplexně sdruženou.

• Nápověda 2

  Připomeňte si nebo vyhledejte tvar stavů báze \(|1, \, m\rangle\) v „maticové“ reprezentaci a tvar operátorů složek momentu hybnosti vyjádřených v této bázi.

• Řešení nápovědy 2

  Stavy báze \(|1, \, 1\rangle, \, |1, \, 0\rangle, \, |1, \, -1\rangle\) mají v „maticové“ reprezentaci tvar

  \[ |1, \, 1\rangle \equiv \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \qquad |1, \, 0\rangle \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \qquad |1, \, -1\rangle \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

  Ve stavech této báze mají operátory složek momentu hybnosti tvar

  \[ \hat L_x = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \, , \qquad \hat L_y = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \, , \] \[ \hat L_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, . \]

  Pozn.: Odvození tvaru těchto matic naleznete v úloze Maticový formalismus pro l = 1, Řešení b).

• Řešení a)

  Nejdříve převedeme vyjádření stavu \(|\psi\rangle\) do „maticové“ reprezentace (viz Nápověda 2)

  \[ |\psi\rangle = a |1, \, 1\rangle + b |1, \, 0\rangle + c |1, \, -1\rangle = \] \[ = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \, . \]

  Při výpočtu vyjdeme z obecného vztahu pro střední hodnotu, do kterého dosadíme vyjádření v „maticové“ reprezentaci, a následně upravíme

  \[ \langle L_x \rangle_\psi = \left \langle \psi \, \Big | \, \hat L_x \psi \right \rangle = \psi^\dagger \hat L_x \psi = \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix} \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ a+c \\ b \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{\sqrt2} (a^*b + ab^* + b^*c + bc^*) \, . \]

  Pozn.: Protože se jedná o střední hodnotu fyzikální veličiny, musí být výraz v závorce výše je reálný. A opravdu je, protože

  \[ a^*b + ab^* + b^*c + bc^* = 2 \, \mathrm{Re} (ab^*) + 2 \, \mathrm{Re} (bc^*) \, . \]

  Výpočet pro \(\langle L_y \rangle_\psi\) a \(\langle L_z \rangle_\psi\) je zcela analogický, proto zde uvádíme pouze výsledné hodnoty

  \[ \langle L_y \rangle_\psi = \frac{i\hbar}{\sqrt2} (a{b^*} - {a^*}b + b{c^*} - {b^*}c) \, , \] \[ \langle L_z \rangle_\psi = \hbar^2 (|a|^2 + |c|^2) \, . \]

  I tyto střední hodnoty jsou reálné. Pro \(\langle L_z \rangle_\psi\) to vidíme ihned a pro \(\langle L_y \rangle_\psi\) si upravíme výraz v závorce

  \[ a{b^*} - {a^*}b + b{c^*} - {b^*}c = 2 i \, \mathrm{Im}(a{b^*}) + 2 i \, \mathrm{Im}(b{c^*}) \, . \]

  Po vynásobení tohoto součtu konstantou \(i\) z čitatele zlomku před závorkou dostaneme reálný výraz.

• Řešení b)

  Zde budeme postupovat stejně jako v předchozí části s tím rozdílem, že si nejdříve vypočteme druhé mocniny operátorů jednotlivých složek momentu hybnosti

  \[ \hat L_x^2 = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, , \] \[ \hat L_y^2 = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, , \] \[ \hat L_z^2 = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, . \]

  Nyní dosadíme do obecného vztahu pro střední hodnotu vyjádření v „maticové“ reprezentaci a upravíme

  \[ \langle L_x^2 \rangle_\psi = \left \langle \psi \, \Big | \, \hat L_x^2 \psi \right \rangle = \psi^\dagger \hat L_x^2 \psi = \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix} \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a+c \\ 2b \\ a+c \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{2} (aa^* + a^*c + 2bb^* + ac^* + cc^*) = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} (|a|^2 + 2|b|^2 + |c|^2 + {a^*}c + a{c^*}) \, . \]

  Výpočet pro \(\langle L_y^2 \rangle_\psi\) a \(\langle L_z^2 \rangle_\psi\) je zcela analogický, proto zde uvádíme pouze výsledné hodnoty

  \[ \langle L_y^2 \rangle_\psi = \frac{\hbar^2}{2} (|a|^2 + 2|b|^2 + |c|^2 - {a^*}c - a{c^*}) \, , \] \[ \langle L_z^2 \rangle_\psi = \hbar^2 (|a|^2 + |c|^2) \, . \]

  Ve všech třech případech jsme dle očekávání dostali reálné hodnoty.

  Pozn.: Všimněme si, že sečtením středních hodnot kvadrátu jednotlivých složek momentu hybnosti dostaneme

  \[ \langle L^2 \rangle_\psi = \langle L_x^2 \rangle_\psi + \langle L_y^2 \rangle_\psi + \langle L_z^2 \rangle_\psi = 2 \hbar^2 (|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) = 2\hbar^2 \, , \]

  což je v souladu s tím, že se jedná o stav s ostrou hodnotou \(\hat L^2\) pro \(l = 1\).

• Nápověda 3

  Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme vlastní čísla a vlastní vektory matic.

• Řešení nápovědy 3

  Vlastní čísla \(\lambda\) matice \(A\) získáme řešením charakteristické rovnice

  \[ \det \left ( A - \lambda \mathbb{E} \right ) = 0 \, , \]

  kde \(\mathbb{E}\) je jednotková matice příslušného řádu.

  Vlastní vektor \(\vec u\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda\) matice \(A\) získáme řešením rovnice

  \[ \left ( A - \lambda \mathbb{E} \right ) \cdot \vec u = \vec o \, , \]

  kde \(\vec o\) je nulový vektor.

• Nápověda 4

  Připomeňte si nebo vyhledejte, jak je třeba rozložit stav vstupující do měření a jak lze z tohoto rozkladu určit pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot.

• Řešení nápovědy 4

  Díky axiomu o měření víme, že stav, který vstupuje do měření, musíme rozložit na lineární kombinaci vlastních stavů měřené veličiny. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot jsou rovny druhé mocnině velikosti příslušného koeficientu v této lineární kombinaci.

• Řešení c)

  Po průchodu částic prvním Sternovým–Gerlachovým přístrojem vybereme pouze částice s hodnotou \(L_z = \hbar\), což odpovídá částicím ve stavu \(|1, \, 1\rangle\). Svazek částic v tomto stavu dále projde
  Sternovým–Gerlachovým zařízením natočeným ve směru \(x\). Axiom o měření říká, že pokud chceme určit pravděpodobnosti naměření každé ze tří možných hodnot, musíme stav, který vstupuje do měření, vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních stavů \(L_x\).

• Řešení – vlastní čísla a vlastní vektory

  K tomu potřebujeme určit vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory matice \(\hat L_x\). Tato matice má tvar (viz Nápověda 2)

  \[ \hat L_x = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \, . \]

  Vlastní čísla \(\lambda\) určíme dosazením do charakteristické rovnice \(\det \left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) = 0\) a následnou úpravou

  \[ \det \left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) = \det \left ( \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) = \] \[ = \det \begin{pmatrix} -\lambda & \frac{\hbar}{\sqrt2} & 0 \\ \frac{\hbar}{\sqrt2} & -\lambda & \frac{\hbar}{\sqrt2} \\ 0 & \frac{\hbar}{\sqrt2} & -\lambda \end{pmatrix} = -\lambda^3 + \frac{\hbar^2}{2} \lambda + \frac{\hbar^2}{2} \lambda = \] \[ = \hbar^2 \lambda - \lambda^3 = \lambda \, \left (\hbar^2 - \lambda^2 \right ) = \lambda \, \left (\hbar - \lambda \right ) \, \left (\hbar + \lambda \right ) = 0 \, . \]

  Vlastní čísla jsou tedy dle očekávání \(\lambda_1 = \hbar, \, \lambda_2 = 0, \, \lambda_3 = -\hbar \, \).

  Nyní se zaměříme na vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu \(\hbar\). Vlastní vektor \(\vec u\) příslušný tomuto vlastnímu číslu \(\lambda\) určíme dosazením do rovnice \(\left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec u = \vec o\) a následnou úpravou

  \[ \left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec u = \left ( \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} -\sqrt2 & 1 & 0 \\ 1 & -\sqrt2 & 1 \\ 0 & 1 & -\sqrt2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

  Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{\sqrt2}\) a rozepíšeme na jednotlivé rovnice. Získáme tak soustavu tří rovnic o třech neznámých

  \[ -\sqrt2 u_1 + u_2 = 0 \, , \] \[ u_1 - \sqrt2 u_2 + u_3 = 0 \, , \] \[ u_2 - \sqrt2 u_3 = 0 \, . \]

  Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Volme tedy \(u_3 = 1\). Ze třetí rovnice tímto dostaneme \(u_2 = \sqrt2\) a z první rovnice \(u_1 = 1\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(\hbar\). Nyní jej ještě normujme

  \[ \frac{1}{\sqrt{|u_1|^2 + |u_2|^2 + |u_3|^2}} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2 + 1}} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

  Tímto jsme získali jednotkový vlastní vektor matice \(\hat L_x\) příslušný vlastnímu číslu \(\hbar\)

  \[ \vec u = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

  Pro vlastní čísla \(0\) a \(-\hbar\) je postup analogický. Výpočet příslušných vlastních vektorů naleznete na konci této úlohy v sekci Komentář. Zde uvádíme výsledné jednotkové vlastní vektory matice \(\hat L_x\) příslušné vlastním číslům \(0\) a \(-\hbar\)

  \[ \lambda = 0 \, \, \rightarrow \, \, \vec v = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \, , \] \[ \lambda = -\hbar \, \, \rightarrow \, \, \vec w = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

• Řešení – rozklad popisu stavu vstupujícího do měření

  Nyní si vyjádříme stav \(|1, \, 1 \rangle\), který vstupuje do měření jako lineární kombinaci vlastních stavů měřené veličiny

  \[ |1, \, 1\rangle = c_1 \vec u + c_2 \vec v + c_3 \vec w \, , \]

  kde \(c_1, \, c_2, \, c_3\) jsou hledané komplexní konstanty.

  Nyní dosadíme za příslušné vlastní vektory

  \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \, \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \, \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - c_3 \, \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

  Hledané koeficienty nalezneme pomocí skalárního součinu

  \[ c_1 = \langle \vec u \, | \, 1, \, 1 \rangle = \vec u^\dagger | 1, \, 1 \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \, , \] \[ c_2 = \langle \vec v \, |\, 1, \, 1 \rangle = \vec v^\dagger | 1, \, 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt2} \, , \] \[ c_3 = \langle \vec w \, | \, 1, \, 1 \rangle = \vec w^\dagger | 1, \, 1 \rangle = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \, . \]

  Nyní určíme pravděpodobnost naměření jednotlivých hodnot \(L_x\). Pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot jsou rovny druhé mocnině velikosti příslušného koeficientu, tj.

  \[ P_{+\hbar} = |c_1|^2 = \frac{1}{4} \, , \] \[ P_0 = |c_2|^2 = \frac{1}{2} \, , \] \[ P_{-\hbar} = |c_3|^2 = \frac{1}{4} \, . \]

  Naměříme tedy hodnotu \(L_x = +\hbar\) s pravděpodobností \(\frac{1}{4}\), hodnotu \(L_x = 0\) s pravděpodobností \(\frac{1}{2}\) a hodnotu \(L_x = -\hbar\) s pravděpodobností \(\frac{1}{4}\).

• Odpověď

  a) Střední hodnoty složek momentu hybnosti ve stavu \(|\psi\rangle\) jsou

  \[ \left \langle L_x \right \rangle = \frac{\hbar}{\sqrt2} (a^*b + ab^* + b^*c + bc^*) \, , \] \[ \left \langle L_y \right \rangle = \frac{i\hbar}{\sqrt2} (ab^* - a^*b + bc^* - b^*c) \, , \] \[ \left \langle L_z \right \rangle = \hbar^2 (|a|^2 + |c|^2) \, . \]

  b) Střední hodnoty kvadrátů složek momentu hybnosti ve stavu \(|\psi\rangle\) jsou

  \[ \left \langle L_x^2 \right \rangle = \frac{\hbar^2}{2} (|a|^2 + 2|b|^2 + |c|^2 + {a^*}c + a{c^*}) \, , \] \[ \left \langle L_y^2 \right \rangle = \frac{\hbar^2}{2} (|a|^2 + 2|b|^2 + |c|^2 - {a^*}c - a{c^*}) \, , \] \[ \left \langle L_z^2 \right \rangle = \hbar^2 (|a|^2 + |c|^2) \, . \]

  c) Po průchodu svazku částic s průmětem \(L_z = \hbar\) Sternovým–Gerlachovým přístrojem natočeným ve směru osy \(x\) naměříme hodnoty \(L_x\) s pravděpodobnostmi

  \[ L_x = +\hbar \, \, \rightarrow \, \, P_{+\hbar} = \frac{1}{4} \, , \] \[ L_x = 0 \, \, \rightarrow \, \, P_0 = \frac{1}{2} \, , \] \[ L_x = -\hbar \, \, \rightarrow \, \, P_{-\hbar} = \frac{1}{4} \, . \]

• Komentář – výpočet zbývajících vlastních vektorů

  Nyní spočítáme vlastní vektor \(\vec v\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda = 0\) dosazením do rovnice \(\left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec v = \vec o\) a následnou úpravou

  \[ \left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec v = \left ( \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

  Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{\sqrt2}\) a rozepíšeme na jednotlivé rovnice. Získáme tak soustavu tří rovnic o třech neznámých

  \[ v_2 = 0 \, , \] \[ v_1 + v_3 = 0 \, , \] \[ v_2 = 0 \, . \]

  Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Ihned vidíme, že \(v_2 = 0\). Volme \(v_1 = 1\) a tedy \(v_3 = -1\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(0\). Nyní jej ještě normujme

  \[ \frac{1}{\sqrt{|v_1|^2 + |v_2|^2 + |v_3|^2}} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + 1}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

  Tímto jsme získali jednotkový vlastní vektor matice \(\hat L_x\) příslušný vlastnímu číslu \(0\)

  \[ \vec v = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

  Při určování vlastního vektoru \(\vec w\) příslušného vlastnímu číslu \(-\hbar\) postupujeme zcela analogicky

  \[ \left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec w = \left ( \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} \sqrt2 & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt2 & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

  Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{\sqrt2}\) a rozepíšeme na jednotlivé rovnice. Získáme tak soustavu tří rovnic o třech neznámých

  \[ \sqrt2 w_1 + w_2 = 0 \, , \] \[ w_1 + \sqrt2 w_2 + w_3 = 0 \, , \] \[ w_2 + \sqrt2 w_3 = 0 \, . \]

  Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Podle zavedné konvence volme \(w_3 = -1\). Ze třetí rovnice tímto dostaneme \(w_2 = \sqrt2\) a z první rovnice \(w_1 = -1\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(0\). Nyní jej ještě normujme

  \[ \frac{1}{\sqrt{|w_1|^2 + |w_2|^2 + |w_3|^2}} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2 + 1}} \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt2 \\ -1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

  Tímto jsme získali jednotkový vlastní vektor matice \(\hat L_x\) příslušný vlastnímu číslu \(-\hbar\)

  \[ \vec w = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]