Lineární kombinace vlastních stavů L2 a Lz

Úloha číslo: 4365

Částice se nacházejí ve stavu \(|\psi\rangle\), který je lineární kombinací společných vlastních stavů \(\hat L^2\) a \(\hat L_z\) s kvantovými čísly \(l = 1\) a \(m = 0, \, \pm1\), tj.

\[ |\psi\rangle = a \, |1, \, 1\rangle + b \, |1, \, 0\rangle + c \, |1, \, -1\rangle \, . \]

Vypočtěte

a) střední hodnoty složek momentu hybnosti,

b) střední hodnoty kvadrátů složek momentu hybnosti.

c) Částice ve stavu \(|\psi\rangle\) projdou Sternovým–Gerlachovým přístrojem natočeným ve směru osy \(z\) a rozštěpí se na tři svazky. Svazek částic s hodnotou \(L_z = \hbar\) je veden do druhého přístroje natočeného do směru osy \(x\). Jaké hodnoty \(L_x\) a s jakými pravděpodobnostmi naměříme?

  • Nápověda 1

    Připomeňte si, jak lze určit střední hodnotu veličiny \(F\) ve stavu \(|\psi\rangle\).

  • Nápověda 2

    Připomeňte si nebo vyhledejte tvar stavů báze \(|1, \, m\rangle\) v „maticové“ reprezentaci a tvar operátorů složek momentu hybnosti vyjádřených v této bázi.

  • Řešení a)

    Nejdříve převedeme vyjádření stavu \(|\psi\rangle\) do „maticové“ reprezentace (viz Nápověda 2)

    \[ |\psi\rangle = a |1, \, 1\rangle + b |1, \, 0\rangle + c |1, \, -1\rangle = \] \[ = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \, . \]

    Při výpočtu vyjdeme z obecného vztahu pro střední hodnotu, do kterého dosadíme vyjádření v „maticové“ reprezentaci, a následně upravíme

    \[ \langle L_x \rangle_\psi = \left \langle \psi \, \Big | \, \hat L_x \psi \right \rangle = \psi^\dagger \hat L_x \psi = \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix} \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ a+c \\ b \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{\sqrt2} (a^*b + ab^* + b^*c + bc^*) \, . \]

    Pozn.: Protže se jedná o střední hodnotu fyzikální veličiny, musí být výraz v závorce výše je reálný. A opravdu je, protože

    \[ a^*b + ab^* + b^*c + bc^* = 2 \, \mathrm{Re} (ab^*) + 2 \, \mathrm{Re} (bc^*) \, . \]

    Výpočet pro \(\langle L_y \rangle_\psi\) a \(\langle L_z \rangle_\psi\) je zcela analogický, proto zde uvádíme pouze výsledné hodnoty

    \[ \langle L_y \rangle_\psi = \frac{i\hbar}{\sqrt2} (a{b^*} - {a^*}b + b{c^*} - {b^*}c) \, , \] \[ \langle L_z \rangle_\psi = \hbar^2 (|a|^2 + |c|^2) \, . \]

    I tyto střední hodnoty jsou reálné. Pro \(\langle L_z \rangle_\psi\) to vidíme ihned a pro \(\langle L_y \rangle_\psi\) si upravíme výraz v závorce

    \[ a{b^*} - {a^*}b + b{c^*} - {b^*}c = 2 i \, \mathrm{Im}(a{b^*}) + 2 i \, \mathrm{Im}(b{c^*}) \, . \]

    Po vynásobení tohoto součtu konstantou \(i\) z čitatele zlomku před závorkou dostaneme reálný výraz.

  • Řešení b)

    Zde budeme postupovat stejně jako v předchozí části s tím rozdílem, že si nejdříve vypočteme druhé mocniny operátorů jednotlivých složek momentu hybnosti

    \[ \hat L_x^2 = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, , \] \[ \hat L_y^2 = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, , \] \[ \hat L_z^2 = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \hbar^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, . \]

    Nyní dosadíme do obecného vztahu pro střední hodnotu vyjádření v „maticové“ reprezentaci a upravíme

    \[ \langle L_x^2 \rangle_\psi = \left \langle \psi \, \Big | \, \hat L_x^2 \psi \right \rangle = \psi^\dagger \hat L_x^2 \psi = \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix} \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} \begin{pmatrix} a^* & b^* & c^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a+c \\ 2b \\ a+c \end{pmatrix} = \frac{\hbar^2}{2} (aa^* + a^*c + 2bb^* + ac^* + cc^*) = \] \[ = \frac{\hbar^2}{2} (|a|^2 + 2|b|^2 + |c|^2 + {a^*}c + a{c^*}) \, . \]

    Výpočet pro \(\langle L_y^2 \rangle_\psi\) a \(\langle L_z^2 \rangle_\psi\) je zcela analogický, proto zde uvádíme pouze výsledné hodnoty

    \[ \langle L_y^2 \rangle_\psi = \frac{\hbar^2}{2} (|a|^2 + 2|b|^2 + |c|^2 - {a^*}c - a{c^*}) \, , \] \[ \langle L_z^2 \rangle_\psi = \hbar^2 (|a|^2 + |c|^2) \, . \]

    Ve všech třech případech jsme dle očekávání dostali reálné hodnoty.

    Pozn.: Všimněme si, že sečtením středních hodnot kvadrátu jednotlivých složek momentu hybnosti dostaneme

    \[ \langle L^2 \rangle_\psi = \langle L_x^2 \rangle_\psi + \langle L_y^2 \rangle_\psi + \langle L_z^2 \rangle_\psi = 2 \hbar^2 (|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) = 2\hbar^2 \, , \]

    což je v souladu s tím, že se jedná o stav s ostrou hodnotou \(\hat L^2\) pro \(l = 1\).

  • Nápověda 3

    Připomeňte si nebo vyhledejte, jak určujeme vlastní čísla a vlastní vektory matic.

  • Nápověda 4

    Připomeňte si nebo vyhledejte, jak je třeba rozložit stav vstupující do měření a jak lze z tohoto rozkladu určit pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot.

  • Řešení c)

    Po průchodu částic prvním Sternovým–Gerlachovým přístrojem vybereme pouze částice s hodnotou \(L_z = \hbar\), což odpovídá částicím ve stavu \(|1, \, 1\rangle\). Svazek částic v tomto stavu dále projde
    Sternovým–Gerlachovým zařízením natočeným ve směru \(x\). Axiom o měření říká, že pokud chceme určit pravděpodobnosti naměření každé ze tří možných hodnot, musíme stav, který vstupuje do měření, vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních stavů \(L_x\).

  • Odpověď

    a) Střední hodnoty složek momentu hybnosti ve stavu \(|\psi\rangle\) jsou

    \[ \left \langle L_x \right \rangle = \frac{\hbar}{\sqrt2} (a^*b + ab^* + b^*c + bc^*) \, , \] \[ \left \langle L_y \right \rangle = \frac{i\hbar}{\sqrt2} (ab^* - a^*b + bc^* - b^*c) \, , \] \[ \left \langle L_z \right \rangle = \hbar^2 (|a|^2 + |c|^2) \, . \]

    b) Střední hodnoty kvadrátů složek momentu hybnosti ve stavu \(|\psi\rangle\) jsou

    \[ \left \langle L_x^2 \right \rangle = \frac{\hbar^2}{2} (|a|^2 + 2|b|^2 + |c|^2 + {a^*}c + a{c^*}) \, , \] \[ \left \langle L_y^2 \right \rangle = \frac{\hbar^2}{2} (|a|^2 + 2|b|^2 + |c|^2 - {a^*}c - a{c^*}) \, , \] \[ \left \langle L_z^2 \right \rangle = \hbar^2 (|a|^2 + |c|^2) \, . \]

    c) Po průchodu svazku částic s průmětem \(L_z = \hbar\) Sternovým–Gerlachovým přístrojem natočeným ve směru osy \(x\) naměříme hodnoty \(L_x\) s pravděpodobnostmi

    \[ L_x = +\hbar \, \, \rightarrow \, \, P_{+\hbar} = \frac{1}{4} \, , \] \[ L_x = 0 \, \, \rightarrow \, \, P_0 = \frac{1}{2} \, , \] \[ L_x = -\hbar \, \, \rightarrow \, \, P_{-\hbar} = \frac{1}{4} \, . \]
  • Komentář – výpočet zbývajících vlastních vektorů

    Nyní spočítáme vlastní vektor \(\vec v\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda = 0\) dosazením do rovnice \(\left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec v = \vec o\) a následnou úpravou

    \[ \left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec v = \left ( \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

    Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{\sqrt2}\) a rozepíšeme na jednotlivé rovnice. Získáme tak soustavu tří rovnic o třech neznámých

    \[ v_2 = 0 \, , \] \[ v_1 + v_3 = 0 \, , \] \[ v_2 = 0 \, . \]

    Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Ihned vidíme, že \(v_2 = 0\). Volme \(v_1 = 1\) a tedy \(v_3 = -1\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(0\). Nyní jej ještě normujme

    \[ \frac{1}{\sqrt{|v_1|^2 + |v_2|^2 + |v_3|^2}} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + 1}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

    Tímto jsme získali jednotkový vlastní vektor matice \(\hat L_x\) příslušný vlastnímu číslu \(0\)

    \[ \vec v = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

    Při určování vlastního vektoru \(\vec w\) příslušného vlastnímu číslu \(-\hbar\) postupujeme zcela analogicky

    \[ \left ( \hat L_x - \lambda \hat{\mathbb{E}} \right ) \cdot \vec w = \left ( \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = \] \[ = \frac{\hbar}{\sqrt2} \begin{pmatrix} \sqrt2 & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt2 & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, . \]

    Tuto rovnost vydělíme faktorem \(\frac{\hbar}{\sqrt2}\) a rozepíšeme na jednotlivé rovnice. Získáme tak soustavu tří rovnic o třech neznámých

    \[ \sqrt2 w_1 + w_2 = 0 \, , \] \[ w_1 + \sqrt2 w_2 + w_3 = 0 \, , \] \[ w_2 + \sqrt2 w_3 = 0 \, . \]

    Tyto rovnice jsou lineárně závislé. Podle zavedné konvence volme \(w_3 = -1\). Ze třetí rovnice tímto dostaneme \(w_2 = \sqrt2\) a z první rovnice \(w_1 = -1\). Tímto jsme určili směr vlastního vektoru, který přísluší vlastnímu číslu \(0\). Nyní jej ještě normujme

    \[ \frac{1}{\sqrt{|w_1|^2 + |w_2|^2 + |w_3|^2}} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2 + 1}} \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt2 \\ -1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]

    Tímto jsme získali jednotkový vlastní vektor matice \(\hat L_x\) příslušný vlastnímu číslu \(-\hbar\)

    \[ \vec w = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt2 \\ 1 \end{pmatrix} \, . \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: KLÍMA, Jan a Miroslav ŠIMURDA. Sbírka problémů z kvantové teorie.
Praha: Academia, 2006
×Původní zdroj: KLÍMA, Jan a Miroslav ŠIMURDA. Sbírka problémů z kvantové teorie. Praha: Academia, 2006
Zaslat komentář k úloze