Sbírka řešených úloh

Mravenec v pohybu

Úloha číslo: 677

• Nápověda 1

  Z relací neurčitosti víme, že zpřesňování určení polohy částice vždy probíhá na úkor přesnosti určení jiné veličiny. O kterou veličinu nebo veličiny se jedná?

  Jaký tvar má příslušná relace neurčitosti?

• Řešení nápovědy 1

  Přesnější určení polohy částice probíhá na úkor přesnosti informací o jejím pohybu. Zvyšuje se tedy neurčitost rychlosti, hybnosti a kinetické energie částice (tyto tři veličiny se dají navzájem jedna z druhé vyjádřit).

  Vzpomenete si na konkrétní tvar nějaké takové relace neurčitosti?

• Řešení nápovědy 1

  Relace neurčitosti pro polohu a hybnost má (v 1D) tvar \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} .\]

  Jako neurčitost hybnosti v tomto případě berte absolutní chybu určení hybnosti.

• Nápověda 2

  Co to je relativní chyba měření? Jak se přenáší relativní chyba z jedné veličiny na druhou? Co když je jedna veličina součinem jiných dvou, které jsou zatíženy jistou chybou?

• Řešení nápovědy 2

  Relativní chyba je bezrozměrná veličina (často uváděná v procentech). Spočteme ji jako podíl absolutní chyby při měření dané veličiny a naměřené hodnoty. Značíme ji například písmenem η.

  Je-li veličina C součinem veličin A a B, pak platí η(C) = η(A) + η(B).

• Zápis

  m = 3,0 mg	hmotnost mravence
  Δm = 0,1 mg	absolutní chyba hmotnosti
  l = 6,0 mm	délka mravence
  Δl = 0,1 mm	absolutní chyba délky
  v = 20 cm·s−1	rychlost mravence
  Δv = 1 cm·s−1	absolutní chyba rychlosti
  Δx = ? (m)	neurčitost polohy

• Řešení

  Pro vypočtení neurčitosti polohy Δx z relace neurčitosti

  \[\Delta x \,\cdot\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2},\]

  potřebujeme znát neurčitost hybnosti Δp. Za neurčitost hybnosti v tomto případě považujme absolutní chybu určení hybnosti. Jelikož je hybnost mravence součinem jeho hmotnosti a rychlosti, tj. p = m·v, platí pro relativní chyby těchto veličin vztah η(p) = η(m) + η(v). Dále je z definice absolutní a relativní chyby Δp = η(p)·p. Pro Δx tak z výše uvedené relace neurčitosti dostáváme

  \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\Delta p} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\eta(p)\cdot p} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{(\eta(m)+\eta(v))\cdot mv} ,\] \[\Delta x \ge \frac{\hbar}{2} \,\frac{1}{\left(\frac{\Delta m}{m}+\frac{\Delta v}{v}\right)\cdot mv} ,\] \[\Delta x \ge \frac{1{,}055\,\cdot\,10^{-34}}{2\,\cdot\,\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{20}\right)\,\cdot\, 6\,\cdot\, 10^{-7}}\ \mbox{m} ,\] \[\Delta x \ge 1{,}055\,\cdot\,10^{-27}\ \mbox{m} .\]

  Vidíme, že neurčitost polohy jde hluboko pod rozměry atomu, proto nemá v reálné situaci naprosto žádný význam. Opět se tak ukazuje, že i věci v našich očích zdánlivě malé (mravenec) mohou být vzhledem k fyzikálním zákonitostem, které popisuje kvantová mechanika, stále ještě dost veliké na to, aby se v jejich chování projevovaly kvantové efekty.

• Odpověď

  Principiálně je minimální neurčitost určení polohy mravence rovna řádově 10⁻²⁷ m, což je rozměr přístroji zcela nepostihnutelný. Reálná chyba měření způsobená použitým měřidlem a lidským okem bude mnohonásobně větší, i při velmi přesném měření typicky asi desetina milimetru, tj. 10⁻⁴ m.