Dva pohledy na fotoelektrický jev
Úloha číslo: 625
Draslíková fólie o velikosti 1×1 cm je ve vzdálenosti 3,5 m od izotropního zdroje světla, který má výkon 1,5 W. Světlo dopadá na fólii kolmo.
a) Předpokládejme, že energie je přenášena dopadajícím světelným svazkem spojitě a plynule (tj. klasicky vlnově). Jak dlouho potrvá, než fólie vstřebá dost energie na to, aby emitovala elektron? Předpokládejme, že fólie absorbuje všechnu dopadající energii a že elektron bude emitován, jestliže potřebnou energii absorbuje ploška o poloměru 5,0·10−11 m (přibližně rozměr atomu). Určete průměrnou velikost proudu v čase.
b) Předpokládejme, že na světlo se můžeme dívat jako na proud „kuliček“ (tzv. fotonů), které „vyrážejí“ jednotlivé elektrony. Energie jednoho fotonu se rovná Efoton = hf, kde h je Planckova konstanta h = 6,626·10−34 Js a f je frekvence světla. Vypočtěte velikost proudu v tomto případě pro vlnovou délku světla 400 nm, resp. 600 nm.
c) Diskutujte, které aspekty výsledků obou částí lze použít, pokud chceme na základě skutečného experimentu rozhodnout o vhodnosti obou vysvětlení.
Zápis
S = 1 cm2 = 10−4 m2 plocha fólie r = 3,5 m vzdálenost fólie od zdroje světla P = 1,5 W výkon zdroje světla a) r0 = 5,0·10−11 m poloměr plošky odpovídající jednomu atomu t = ? (s) čas nutný k hromadění energie před emitováním jednoho elektronu Ia = ? (A) velikost proudu v případě a) b) λ1 = 400 nm = 4,00·10−7 m vlnová délka prvního světla λ2 = 600 nm = 6,00·10−7 m vlnová délka druhého světla Ib1 = ? (A) velikost proudu v případě b) pro první světlo Ib2 = ? (A) velikost proudu v případě b) pro druhé světlo Z tabulek:
W = 2,2 eV = 2,2·1,6·10−19 J = 3,5·10−19 J výstupní práce pro draslík h = 6,626·10−34 Js Planckova konstanta e = 1,602·10−19 C velikost náboje elektronu Nápověda a)
Aby byl elektron uvolněn z látky, musí získat dost energie na svoje „utržení“ – velikost této energie pro draslík lze nalézt v tabulkách jako tzv. výstupní práci.
Energie odpovídá součinu výkonu a času.
Zdroj světla je izotropní, tj. vyzařuje do všech směrů stejně. Část energie, která dopadne na malou plošku, odpovídá poměru její plochy ku povrchu celé koule s poloměrem rovným vzdálenosti plošky a zdroje světla.
Rozbor a)
Zdroj světla vyzařuje do všech směrů stejně (izotropně). To znamená, že poměr energie, která dopadne na malou plošku a celkové vyzářené energie, se rovná poměru obsahu této plošky a povrchu koule, jejíž poloměr odpovídá vzdálenosti plošky od zdroje. Odtud můžeme určit světelný výkon, který dopadá na plošku odpovídající jednomu atomu. Elektron vyletí ve chvíli, kdy energie, jež na plošku dopadla, se rovná výstupní práci. Potřebný čas tedy určíme jako podíl výstupní práce a dopadajícího výkonu.
Průměrný proud se bude rovnat celkovému uvolněnému náboji (počet uvolněných elektronů vynásobený nábojem jednoho elektronu) a času, během kterého k uvolnění došlo.
Řešení a)
Výkon P0 dopadající na plošku jednoho atomu S0 = πr02 určíme pomocí celkové výkonu zdroje P:
\[P_0=P\frac{S_0}{S_{\mathrm{koule}}}=P\frac{\pi r_0^2}{4\pi r^2}=P\frac{r_0^2}{4r^2}\,\mathrm{,}\]kde Skoule je povrch koule o poloměru odpovídajícím vzdálenosti r fólie od zdroje světla.
Čas t vyjádříme ze vztahu pro výkon P0 a energii E:
\[P_0=\frac{E}{t}\,\Rightarrow\,t=\frac{E}{P_0}\,\mathrm{.}\]Na plošce se musí naakumulovat energie rovná výstupní práci W. Dosadíme tedy E = W a vztah pro výkon P0:
\[t=\frac{W}{P\frac{r_0^2}{4r^2}}=\frac{4Wr^2}{Pr_0^2}.\]Po dosazení zadaných hodnot dostaneme:
\[t=\frac{4{\cdot}3{,}5{\cdot}10^{-19}\cdot3{,}5^2}{1{,}5\cdot\left(5{,}0{\cdot}10^{-11}\right)^2}\,\mathrm{s}\,\dot{=}\,4570\,\mathrm{s}\,\dot{=}\,1\,\mathrm{h}\,16\,\mathrm{min}.\]Abychom určili průměrný proud, musíme určit, kolik elektronů N se za danou dobu uvolní. Jejich počet se rovná počtu „atomových plošek“, které se vejdou na fólii, tj.
\[N=\frac{S}{S_0}=\frac{S}{\pi r_0^2}\mathrm{.}\]Proud je definován jako náboj prošlý za daný čas. Velikost náboje elektronu se rovná elementárnímu náboji e:
\[I=\frac{Q}{t}=\frac{eN}{t}=\frac{e\frac{S}{\pi r_0^2}}{\frac{4Wr^2}{Pr_0^2}}=\frac{eSP}{4\pi Wr^2}\mathrm{.}\]Po dosazení zadaných hodnot dostáváme:
\[I=\frac{1{,}602{\cdot}10^{-19}\cdot10^{-4}\cdot1{,}5}{4\pi\cdot3{,}5{\cdot}10^{-19}\cdot3{,}5^2}\,\mathrm{A}=4{,}5{\cdot}10^{-7}\,\mathrm{A}\,\dot{=}\,450\,\mathrm{nA}.\]Nápověda b)
Nejprve je třeba zkontrolovat, zda energie jednoho fotonu postačuje na uvolnění elektronu z draslíku, tj. je větší než výstupní práce.
Pokud ano, potom si stačí uvědomit, že elektrický proud je proudem elektronů a počet vyražených elektronů odpovídá počtu fotonů, které dopadnou na fólii (předpokládáme, že každý foton „vyrazí“ elektron).
K určení počtu fotonů potřebujeme znát velikost energie, která dopadá na fólii. Tu určíme stejně jako v části a).
Rozbor b)
Pokud si budeme světlo představovat jako proud „kuliček“, potom každá kulička, která na fólii dopadne a má dost energie, může vyrazit elektron. Nejprve tedy musíme zkontrolovat, zda příslušné fotony mají energii větší než je výstupní práce draslíku.
Pokud dané světlo může způsobit emisi elektronů, tak velikost proudu odpovídá počtu vyražených elektronů, který se rovná (za předpokladu 100 % účinnosti) počtu fotonů, které na fólii dopadnou. Stejně jako v předchozí části nejprve určíme velikost energie dopadající na fólii za jednotku času. Tu vydělíme energií jednoho fotonu, čímž získáme počet fotonů dopadajících na fólii za jednotku času. Protože předpokládáme, že každý foton vyrazí elektron, získali jsme i počet emitovaných elektronů za jednotku času.
Řešení b)
Nejprve zkontrolujeme, zda energie jednoho fotonu dostačuje na emisi elektronu. Energie fotonu je dána vztahem:
\[E_{\mathrm{foton}}=hf=h\frac{c}{\lambda}\] \[E_{\mathrm{foton1}}=6{,}6{\cdot}10^{-34}\frac{3{,}00{\cdot}10^8}{4{,}00{\cdot}10^{-7}}\,\mathrm{J}=5{,}0{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}\,>\,W=3{,}5{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J},\] \[E_{\mathrm{foton2}}=6{,}6{\cdot}10^{-34}\frac{3{,}00{\cdot}10^8}{6{,}00{\cdot}10^{-7}}\,\mathrm{J}3{,}3{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}\,<\,W=3{,}5{\cdot}10^{-19}\,\mathrm{J}.\]Odtud vidíme, že světlo o vlnové délce 600 nm nemůže způsobit emisi elektronů. Fotoelektrický jev tedy budeme pozorovat pouze při použití světla o vlnové délce 400 nm.
Světelný výkon, který dopadá na fólii, spočítáme podobně jako v předchozí části:
\[P_{\mathrm{folie}}=P\frac{S}{S_{\mathrm{koule}}}=P\frac{S}{4\pi r^2}.\]Vydělením dopadajícího výkonu Pfolie energií jednoho fotonu Efoton určíme počet dopadajících fotonů Nfoton i emitovaných elektronů Nelektron za jednotku času:
\[N_{\mathrm{foton}}=N_{\mathrm{elektron}}=\frac{P_{\mathrm{folie}}}{E_{\mathrm{foton}}}=\frac{P\frac{S}{4\pi r^2}}{E_{\mathrm{foton}}}=\frac{PS}{4\pi E_{\mathrm{foton}}r^2}.\]Vynásobením velikostí náboje elektronu e dostaneme procházející proud
\[I=eN_{\mathrm{elektron}}=\frac{ePS}{4\pi E_{\mathrm{foton}} r^2},\] \[I_{\mathrm{b1}}=\frac{1{,}6{\cdot}10^{-19}\cdot1{,}5{\cdot}10^{-4}}{4\pi\cdot5{,}0{\cdot}10^{-19}\cdot3{,}5^2}\,\mathrm{A}=3{,}1{\cdot}10^{-7}\,\mathrm{A}=310\,\mathrm{nA}.\]Diskuze c)
Pokud chceme rozhodnout o tom, které vysvětlení fotoelektrického jevu je vhodnější, nelze k tomu použít velikost proudu. Výsledky obou částí ukazují, že proud má při vlnovém i částicovém pohledu podobnou velikost, navíc jsme v obou případech proud počítali za velmi zjednodušených a idealizovaných podmínek.
Navíc pokud porovnáme vztah z části b) s výsledným vztahem pro část a), můžeme si povšimnout, že pokud bychom použili světlo o tzv. mezní vlnové délce, tj. takové, jehož fotony mají energii přesně rovnu výstupní práci, potom bychom oběma cestami dospěli ke stejnému vztahu pro fotoelektrický proud.
Vlnový pohled na světlo nedokáže vysvětlit tyto dvě charakteristiky fotoelektrického jevu:
1.) Ve skutečnosti není třeba na emisi elektronů čekat řádově hodinu, ale emitované elektrony se objevují méně než za nanosekundu po začátku osvětlování kovu.
2.) Klasický vlnový pohled na světlo nedokáže vysvětlit, proč světlo o větších vlnových délkách nedokáže způsobit vznik fotoelektrického proudu, a to ani při zvětšující se intenzitě světla.
Odpověď
Pokud se na světlo díváme jako na vlnění, měly by se první emitované elektrony objevit přibližně za 1 h 16 min, což neodpovídá experimentu. Průměrný proud by dosahoval hodnoty 450 nA.
Jestliže se na světlo díváme jako na proud „kuliček“ (fotonů), potom zjistíme, že světlo o vlnové délce 400 nm způsobí proud o velikosti 310 nA a světlo o vlnové délce 600 nm nedokáže vyvolat vznik fotoelektrického proudu.
