Sbírka řešených úloh

Potenciál tvaru trojúhelníku – variační metoda

Úloha číslo: 2020

• Nápověda 1

  Připomeňte si, na jakém principu jsou založeny variační metody v kvantové mechanice.

• Řešení nápovědy 1

  Variační metoda patří mezi přibližné metody výpočtů energií a vlnových funkcí stacionárních stavů v kvantové mechanice. Tato metoda se dá použít pouze v systémech, jejichž hamiltonián nezávisí na čase.

  Variační metoda je založena na vlastnostech funkcionálu \(\frac{(\psi, \hat{H}\psi)}{(\psi, \psi)}\), který přiřazuje každé vlnové funkci \(\psi\) střední hodnotu energie ve stavu popsaném touto vlnovou funkcí.

  Pokud si uvědomíme, že základní stav je stav s nejmenší přípustnou energií, potom nalezení energie základního stavu je totožné s hledáním minima tohoto funkcionálu. Kdybychom hledali minimum funkcionálu nad všemi vlnovými funkcemi, našli bychom základní stav zcela přesně. Tento výpočet by však byl stejně obtížný jako vyřešení stacionární Schrödingerovy rovnice pro zadaný hamiltonián. Přibližnost variační metody spočívá v tom, že minimum hledáme jenom na nějaké podmnožině všech přípustných vlnových funkcí.

  Při výpočtech pomocí variační metody si nejprve stanovíme, jaký tvar by měla mít vlnová funkce základního stavu \(\psi(x; \alpha_i)\), kde \(\alpha_i\) jsou volné parametry, které hledáme. Počet parametrů si zvolíme podle potřeby, můžeme počítat jen s jedním nebo s více parametry. Potom dosadíme do funkcionálu \(\frac{(\psi, \hat{H}\psi)}{(\psi, \psi)}\) funkci \(\psi(x; \alpha_i)\) a hledáme minimum.

• Nápověda 2

  Zauvažujte, jak vypočítáme minimum funkcionálu.

• Řešení nápovědy 2

  Hledáme minimum funkcionálu \(\frac{(\psi, \hat{H}\psi)}{(\psi, \psi)}\) po dosazení funkce \(\psi(x; \alpha_i)\), tedy minimum funkce \[\frac{\left(\psi(x; \alpha_i), \hat{H}\psi(x; \alpha_i)\right)}{\left(\psi(x; \alpha_i), \psi(x; \alpha_i)\right)},\] což je vlastně funkce parametrů \(\alpha_i\) .

  V naší úloze po dosazení zadané funkce \(\psi(x,a)\) do funkcionálu \(\frac{(\psi, \hat{H}\psi)}{(\psi, \psi)}\), se funkcionál zredukuje na funkci parametru \(a\). Budeme tedy hledat miminum funkce jedné proměnné.

  Minimum této funkce určíme z podmínky, že derivace v extrémech je nulová a druhá derivace v minimu kladná.

• Řešení

  Pomocí variační metody chceme odhadnout energii základního stavu za předpokladu, že by základní stav byl popsán vlnovou funkcí ve tvaru \[\psi=\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}},\] kde \(a>0\) je parametr, pro potenciální energii \[\hat V(x)=C|x|,\] kde \(C>0\).

  Střední hodnotu energie ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\) určuje výraz \[\left\langle E\right\rangle_\psi=\frac{(\psi, \hat{H}\psi)}{(\psi, \psi)},\] do kterého dosadíme a budeme hledat jeho minimum.

   

  Nejprve si pomocí zadané potenciální energie \(\hat V\) napíšeme hamiltonián \[\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\,\mathrm{d}^2}{\,\mathrm{d}x^2}+C|x|.\]

  Potom vypočteme potřebné skalární součiny (detailní výpočet viz Výpočet integrálů níže) \[(\psi, \hat{H}\psi)=\int_{-\infty}^\infty{\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\,\mathrm{d}^2}{\,\mathrm{d}x^2}\left(\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\right)+C|x|\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\right)\,\mathrm{d}x=\] \[=\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}},\] \[(\psi, \psi)=\int_{-\infty}^\infty{\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}}\,\mathrm{d}x=1\] a dosadíme je do vzorce pro výpočet střední hodnoty

  \[\left\langle E\right\rangle_\psi=\frac{(\psi, \hat{H}\psi)}{(\psi, \psi)}=\frac{\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}}}{1}=\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}}.\]

  Chceme odhadnout energii základního stavu, hledáme tedy minimum střední hodnoty energie \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) v závislosti na hodnotě parametru \(a\). Z podmínky, že v minimu musí být první derivace \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) podle \(a\) nulová \[\frac{\,\mathrm{d}\left\langle E\right\rangle_\psi}{\,\mathrm{d}a}=\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}a}\left(\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}}\right)=-\frac{\hbar^2}{2ma^3}+\frac{C}{\sqrt{\pi}}=0,\] určíme hodnotu parametru \(a_{min}\), při které funkce dosahuje minima.

  \[a_{min}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}\hbar^2}{2mC}}\]

  Ještě ověříme, zda funkce \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) nabývá pro tuto hodnotu parametru opravdu minima, tedy je-li druhá derivace \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) podle \(a\) v bodě \(a_{min}\) kladná.

  \[\frac{\,\mathrm{d}^2\left\langle E\right\rangle_\psi}{\,\mathrm{d}a^2}=\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}a}\left(-\frac{\hbar^2}{2ma^3}+\frac{C}{\sqrt{\pi}}\right)=\frac{3\hbar^2}{2ma^4}>0\]

  Zjistili jsme, že druhá derivace \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) podle \(a\) je kladná dokonce pro libovolnou hodnotu parametru \(a\).

   

  Nakonec vypočteme hodnotu minima střední hodnoty energie \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) dosazením zjištěné hodnoty parametru \(a_{min}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}\hbar^2}{2mC}}\)

  \[\left\langle E\right\rangle_{\psi\: min}=\frac{\hbar^2}{4m\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}\hbar^2}{2mC}}\right)^2}+C\sqrt{\frac{\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}\hbar^2}{2mC}}\right)^2}{\pi}}=\frac{\hbar^2\sqrt[3]{4m^2C^2}}{4m\sqrt[3]{\pi\hbar^4}}+C\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\pi}\hbar^2}}{\sqrt{\pi}\sqrt[3]{2mC}}=\] \[=\sqrt[3]{\frac{4m^2C^2\hbar^6}{4^3m^3\pi\hbar^4}}+\sqrt[3]{\frac{C^3\sqrt{\pi}\hbar^2}{2\left(\sqrt{\pi}\right)^3mC}}=\sqrt[3]{\frac{C^2\hbar^2}{16m\pi}}+\sqrt[3]{\frac{C^2\hbar^2}{2\pi m}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{C^2\hbar^2}{2m\pi}}.\]

• Výpočet integrálů

  Během výpočtu integrálů potřebných pro zjištění střední hodnoty energie použijeme následující tabulkové hodnoty Gaussových integrálů (\(b>0\)).

  \[\int_{-\infty}^\infty{\,\mathrm{e}^{-bx^2}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{b}}\] \[\int_{-\infty}^\infty{x^2\,\mathrm{e}^{-bx^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2b^\frac{3}{2}}\] \[\int_{-\infty}^\infty{|x|\,\mathrm{e}^{-bx^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{b}\]

   

  Skalární součin \((\psi, \hat{H}\psi)\) pro zadanou funkci \(\psi\) a potenciál \(V\) vede k následujícímu integrálu.

  \[\int_{-\infty}^\infty{\psi^\ast\hat{H}\psi}\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^\infty{\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\,\mathrm{d}^2}{\,\mathrm{d}x^2}\left(\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\right)+C|x|\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\right)\,\mathrm{d}x=\]

  Nejdříve integrál součtu funkcí upravíme na součet integrálů funkcí, vytkneme všechny konstanty před integrály a začneme derivovat funkci uvnitř integrálu.

  \[=\sqrt{\frac{1}{a^2\pi}}\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^\infty{\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}x}\left(-\frac{1}{2a^2}2x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\right)}\,\mathrm{d}x+C\int_{-\infty}^\infty{\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}|x|\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}}\,\mathrm{d}x\right]=\]

  Dokončíme derivování a vytkneme konstanty před integrál.

  \[=\sqrt{\frac{1}{a^2\pi}}\left[\frac{\hbar^2}{2ma^2}\int_{-\infty}^\infty{\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\left(1+x\left(-\frac{1}{2a^2}2x\right)\right)}\,\mathrm{d}x+C\int_{-\infty}^\infty{|x|\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}}\,\mathrm{d}x\right]=\]

  Integrál rozdílu funkcí napíšeme jako rozdíl integrálů funkcí a opět vytkneme konstanty.

  \[=\sqrt{\frac{1}{a^2\pi}}\left[\frac{\hbar^2}{2ma^2}\left(\int_{-\infty}^\infty{\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}}\,\mathrm{d}x-\frac{1}{a^2}\int_{-\infty}^\infty{x^2\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}}\,\mathrm{d}x\right)+C\int_{-\infty}^\infty{|x|\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}}\,\mathrm{d}x\right]=\]

  Na všechny tři dílčí integrály použijeme tabulkové hodnoty Gaussových integrálů (viz výše).

  \[=\sqrt{\frac{1}{a^2\pi}}\left[\frac{\hbar^2}{2ma^2}\left(\sqrt{\frac{\pi}{\frac{1}{a^2}}}-\frac{1}{a^2}\frac{\sqrt{\pi}}{2\left(\frac{1}{a^2}\right)^\frac{3}{2}}\right)+Ca^2\right]=\]

  Po úpravě dostáváme výsledek.

  \[=\frac{\hbar^2}{2ma^2}\left(1-\frac{1}{a^2}\sqrt{\frac{1}{a^2\pi}}\frac{\sqrt{a^2\pi}a^2}{2}\right)+\sqrt{\frac{a^2}{\pi}}C=\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}}\]

   

  Skalární součin \((\psi, \psi)\) po dosazení zadané funkce \(\psi\) vyjadřuje následující integrál.

  \[\int_{-\infty}^\infty{\psi^\ast\psi}\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^\infty{\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}}\,\mathrm{d}x=\]

  Po úpravě, vytknutí konstant a použití tabulkového integrálu dostaneme 1.

  \[=\int_{-\infty}^\infty{\sqrt{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{1}{a^2\pi}}\int_{-\infty}^\infty{\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{1}{a^2\pi}}\sqrt{\frac{\pi}{\frac{1}{a^2}}}=1\]

  To znamená, že tvar vlnové funkce je zvolen tak, aby funkce byla normovaná.

• Odpověď

  Pomocí variační metody je energie základního stavu systému s potenciální energií \(\hat V(x)=C|x|\), kde \(C>0\), na třídě funkcí \(\psi=\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\), kde \(a>0\), odhadnuta hodnotou \(\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{C^2\hbar^2}{2m\pi}}.\)