Potenciál tvaru trojúhelníku – variační metoda

Úloha číslo: 2020

Pomocí variační metody odhadněte energii základního stavu pro potenciál \[\hat V(x)=C|x|,\] kde \(C>0.\)

Minimalizaci proveďte na třídě funkcí ve tvaru \[\psi=\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}},\] kde \(a>0\) je parametr.

  • Nápověda 1

    Připomeňte si, na jakém principu jsou založeny variační metody v kvantové mechanice.

  • Nápověda 2

    Zauvažujte, jak vypočítáme minimum funkcionálu.

  • Řešení

    Pomocí variační metody chceme odhadnout energii základního stavu za předpokladu, že by základní stav byl popsán vlnovou funkcí ve tvaru \[\psi=\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}},\] kde \(a>0\) je parametr, pro potenciální energii \[\hat V(x)=C|x|,\] kde \(C>0\).

    Střední hodnotu energie ve stavu popsaném vlnovou funkcí \(\psi\) určuje výraz \[\left\langle E\right\rangle_\psi=\frac{(\psi, \hat{H}\psi)}{(\psi, \psi)},\] do kterého dosadíme a budeme hledat jeho minimum.

     

    Nejprve si pomocí zadané potenciální energie \(\hat V\) napíšeme hamiltonián \[\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\,\mathrm{d}^2}{\,\mathrm{d}x^2}+C|x|.\]

    Potom vypočteme potřebné skalární součiny (detailní výpočet viz Výpočet integrálů níže) \[(\psi, \hat{H}\psi)=\int_{-\infty}^\infty{\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\,\mathrm{d}^2}{\,\mathrm{d}x^2}\left(\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\right)+C|x|\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\right)\,\mathrm{d}x=\] \[=\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}},\] \[(\psi, \psi)=\int_{-\infty}^\infty{\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}}\,\mathrm{d}x=1\] a dosadíme je do vzorce pro výpočet střední hodnoty

    \[\left\langle E\right\rangle_\psi=\frac{(\psi, \hat{H}\psi)}{(\psi, \psi)}=\frac{\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}}}{1}=\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}}.\]

    Chceme odhadnout energii základního stavu, hledáme tedy minimum střední hodnoty energie \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) v závislosti na hodnotě parametru \(a\). Z podmínky, že v minimu musí být první derivace \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) podle \(a\) nulová \[\frac{\,\mathrm{d}\left\langle E\right\rangle_\psi}{\,\mathrm{d}a}=\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}a}\left(\frac{\hbar^2}{4ma^2}+C\sqrt{\frac{a^2}{\pi}}\right)=-\frac{\hbar^2}{2ma^3}+\frac{C}{\sqrt{\pi}}=0,\] určíme hodnotu parametru \(a_{min}\), při které funkce dosahuje minima.

    \[a_{min}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}\hbar^2}{2mC}}\]

    Ještě ověříme, zda funkce \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) nabývá pro tuto hodnotu parametru opravdu minima, tedy je-li druhá derivace \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) podle \(a\) v bodě \(a_{min}\) kladná.

    \[\frac{\,\mathrm{d}^2\left\langle E\right\rangle_\psi}{\,\mathrm{d}a^2}=\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d}a}\left(-\frac{\hbar^2}{2ma^3}+\frac{C}{\sqrt{\pi}}\right)=\frac{3\hbar^2}{2ma^4}>0\]

    Zjistili jsme, že druhá derivace \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) podle \(a\) je kladná dokonce pro libovolnou hodnotu parametru \(a\).

     

    Nakonec vypočteme hodnotu minima střední hodnoty energie \(\left\langle E\right\rangle_\psi\) dosazením zjištěné hodnoty parametru \(a_{min}=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}\hbar^2}{2mC}}\)

    \[\left\langle E\right\rangle_{\psi\: min}=\frac{\hbar^2}{4m\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}\hbar^2}{2mC}}\right)^2}+C\sqrt{\frac{\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}\hbar^2}{2mC}}\right)^2}{\pi}}=\frac{\hbar^2\sqrt[3]{4m^2C^2}}{4m\sqrt[3]{\pi\hbar^4}}+C\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\pi}\hbar^2}}{\sqrt{\pi}\sqrt[3]{2mC}}=\] \[=\sqrt[3]{\frac{4m^2C^2\hbar^6}{4^3m^3\pi\hbar^4}}+\sqrt[3]{\frac{C^3\sqrt{\pi}\hbar^2}{2\left(\sqrt{\pi}\right)^3mC}}=\sqrt[3]{\frac{C^2\hbar^2}{16m\pi}}+\sqrt[3]{\frac{C^2\hbar^2}{2\pi m}}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{C^2\hbar^2}{2m\pi}}.\]
  • Odpověď

    Pomocí variační metody je energie základního stavu systému s potenciální energií \(\hat V(x)=C|x|\), kde \(C>0\), na třídě funkcí \(\psi=\sqrt[4]{\frac{1}{a^2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}}\), kde \(a>0\), odhadnuta hodnotou \(\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{C^2\hbar^2}{2m\pi}}.\)

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze